Asal Usul Bilangan Euler

Hai hai semua . Ketemu lagi sama aing, Admin K yang paling keren lagi kece . Tentu saja, masih di blog kesayangan qta yang cerah ini, KnK Land. Kali ini aing bakal ngebahas tentang bilangan euler. Yap, selain π, e adalah salah satu bilangan yang penting dalam dunia matematika. Mungkin yu bertanya2 apaan sih e itu? Kenapa bisa nilainya 2,7.. sekian? Langsung saja qta cekidoot .





Disini, aing gak bakal banyak ngebacot bagaimana sejarahnya bilangan ini ditemukan. Disini, aing hanya akan membahas dari mana bilangan yang transenden ini muncul dengan mejiknya. So, mari qta mulai.

Bicara soal bank, tentu bank merupakan tempat qta menabung atau meminjam uang. Saat qta menabung di bank tentu ada yang namanya bunga. Bunga juga dibagi menjadi bunga tunggal dan bunga majemuk. Disini aing bakal ngebahas tentang bunga majemuk.

Tentu qta ketahui rumus bunga majemuk adalah sebagai berikut.

dengan N_A adalah nilai akhir, N₀ adalah nilai awal, i adalah suku bunga, dan n adalah jangka waktu.

Biar ngerti, aing kasih contoh soal. Misalnya aing punya uang 10 juta mau nabung di bank, suku bunganya 30% per tahun yang dibayar per tahun. Dalam jangka 2 tahun, berapa uang aing?

Deh, banyak dosa aing makan banyak riba. Ehem, kenapa bahas riba sih. Trus apa hubungannya bilangan euler dengan bunga bank?

Okeh, misalnya aing punya bank, trus aing menawarkan suku bunga 100% per tahun. Tentu, rumusnya akan menjadi seperti ini.

Itu artinya dalam satu tahun, nilai uangnya menjadi dua kali lipat. Qta misalkan saja N_t adalah nilai akhir dalam satu tahun.

Qta misalkan saja N₀ = 1 soalnya yang mau qta perhatikan adalah kelipatan bunganya saja.

Nah, rumus diatas digunakan apabila bunga dihitung per tahun. Bagaimana kalo bunganya dihitung persemester atau 6 bulan? Tentu, suku bunganya harus dibagi 2 dan n = 2. Jadi, kalo dihitung setiap 6 bulan, maka nilai akhirnya:

Sekarang, bagaimana kalo bunganya dihitung setiap bulan? Yap, seperti di atas, suku bunganya dibagi 12 dan n = 12 karena dalam satu tahun ada 12 bulan.

Lalu, bagaimana kalo bunganya dihitung per hari? Yap, dalam setahun ada 365 hari.

Per jam?

Per menit?

Per detik?

Atau bagaimana jika bunga dihitung secara kontinu dalam waktu yang sangat-sangat kecil? Tentu, suku bunganya harus dibagi dengan bilangan yang mendekati tak hingga dan n juga mendekati tak hingga.

Tak hingga a.k.a infinity bukanlah suatu bilangan tapi merupakan suatu konsep. Oleh karena itu, untuk mencari nilainya qta harus menggunakan limit.

Sekarang, mari qta selesaikan limit ini. Mungkin yu mengira kalo limit ini hasilnya adalah 1 karena mengingat mendekati 0 sehingga mendekati lalu mendekati 1. Sebenarnya itu sebenarnya tidak mendekati 1. Yu bisa coba sendiri di Microsoft Office Excel. Ternyata semakin besar nilai n maka nilai tidak mendekati 1 melainkan malah mendekati suatu bilangan yang berada di sekitar 2,71828... yang bisa yu lihat di gambar berikut ini.

Terlihat dari gambar ternyata tidak mendekati 1 saat n semakin besar. Justru mendekati bilangan lain yang berada di sekitar 2,7... dst. Nah, bilangan inilah yang disepakati oleh para matematikawan sebagai bilangan euler dengan simbol e. Simbol e digunakan bukan hanya untuk menghormati ahli matematika, Leonhard Euler tapi juga simbol e juga dapat berarti eksponensial.

Itu artinya, definisi dari bilangan e ini adalah sebagai berkut :

Lebih mengejutkan lagi, ternyata pengaplikasian bilangan e ini bukan hanya untuk perhitungan bunga bank saja tapi juga dapat digunakan dalam berbagai bidang misalnya menghitung pertumbuhan penduduk, perkembangbiakan bakteri, peluruhan radioaktif, dll yakni segala sesuatu yang berhubungan dengan perhitungan fungsi eksponensial yang kontinu.

e merupakan salah satu konstanta dalam matematika. Dalam keluarga bilangan, e termasuk bilangan irasional serta termasuk bilangan transenden. e merupakan bilangan transenden karena e tidak mungkin bisa menjadi solusi dari berbagai jenis polinomial sebab e hanya bisa diperoleh dari deret tak terhingga bukan diperoleh dari cara aljabar.

Nah, itulah postingan tentang bilangan euler. Semoga yu bisa paham dan mengerti sama postingan ini. Apabila kurang paham, silahkan komeng. Kalo ada yang salah, mohong dikoreksi. Sampai jumpa di postingan berikutnya. Bye~