Saturday, April 28, 2018

Home / Matematikamampus / Persamaan Garis (Persamaan Linear)

Persamaan Garis (Persamaan Linear)

by Admin K on Saturday, April 28, 2018 in Matematikamampus

Hai hai semua

. Ketemu lagi sama aing, Admin K yang sugoi lagi menawan

. Tentu saja, masih di blog kesayangan qta yang penuh dengan keceriaan ini, KnK Land. Kali ini, aing bakal ngebahas lagi tentang matematika. Materi yang bakal aing bawakan kali ini ialah tentang persamaan garis atau persamaan linear. Langsung saja qta cekidoot guys

.

Persamaan linear adalah suatu persamaan yang apabila digambar pada koordinat kartesius akan membentuk suatu garis yang lurus. Bentuk umum persamaan linear adalah sebagai berikut.

$Ax + By + C = 0$ atau $y = mx + n$

Ket:

A, B, C, m, dan n adalah bilangan yang sudah diketahui.

x dan y adalah variabel.

Contoh:

$5x - 5y - 2 = 0$

$-7x + 7y - 1 = 0$

$-8x + 2y - 9 = 0$

$y = -10x + 4$

$y = 5x + 6$

Kemiringan

Suatu persamaan garis bisa digambar pada koordinat kartesius. Saat digambar, kurva dari persamaan garis akan membentuk suatu garis lurus. Berikut contoh-contohnya.

Contoh 1 : Garis y = x + 6

Contoh 2 : Garis y = -5x + 5

Contoh 3 : Garis y = 2x + 2

Lihatlah ketiga garis tersebut. Garis2 tersebut memiliki kemiringan yang berbeda. Pada contoh 1 dan 3, garisnya miring ke kanan, sedangkan pada contoh 2 garisnya miring ke kiri. Selain itu, tampak sekali bahwa garis pada contoh 1 lebih miring dibandingkan garis pada contoh 2. Apa yang membuat kemiringannya bisa berbeda2?

Pertama2, mari qta lihat pada contoh 1 dan 3. Kedua garis pada contoh2 tersebut miring ke kanan. Itu artinya semakin besar nilai x, maka semakin besar pula nilai y-nya. Mari qta buat tabelnya terlebih dahulu lalu qta bandingkan.

Perhatikan baik2 tabel di atas. Tampak bahwa pada titik x = -5, nilai y pada garis y = x + 6 lebih besar daripada nilai y pada garis y = 2x + 2. Namun, coba perhatikan ke bawah, ternyata pada x = 5, nilai y yang ada pada garis y = 2x + 2 justru lebih besar daripada nilai y pada garis y = x + 6. Apa yang mengakibatkan hal itu bisa terjadi? Ternyata yang mengakibatkan hal tersebut terjadi ialah seberapa cepat nilai y naik saat nilai x-nya bertambah. Perhatikan pada tabel garis y = x + 6, setiap kali x bertambah 1, maka nilai y-nya juga bertambah satu. Sedangkan, pada garis y = 2x + 2, setiap kali x bertambah 1, maka nilai y-nya bertambah 2. Itu artinya, kemiringan bisa qta peroleh dari perubahan nilai y terhadap perubahan nilai x. Berarti rumus kemiringan adalah sebagai berikut:

$kemiringan = \frac{perubahan\; nilai\; y}{perubahan\;nilai\; x}$

atau qta bisa simbolkan dengan m adalah kemiringan, Δx adalah perubahan nilai x, dan Δy adalah perubahan nilai y.

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

Untuk mencari Δx dan Δy-nya, qta bisa memilih 2 titik sembarang yang berbeda pada garis. Misalnya 2 titik tersebut adalah titik (x₁,y₁) dan (x₂,y₂). Sehingga Δx = x₁ - x₂ dan Δy = y₁ - y₂. Nah, jika diketahui titik, maka qta bisa mendapatkan rumus kemiringan (atau disebut gradien) dari garis tersebut adalah sebagai berikut.

$m = \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

Yap, pada rumusnya, kedua titik bisa tukeran tempat dan hasilnya akan tetap sama. Nah, itulah rumus gradien atau kemiringan garis apabila diketahui ~~tititnya~~ titiknya.

Sebenarnya, dengan mengetahui persamaan garisnya saja, qta bisa langsung menebak gradiennya. Apabila suatu persamaan garis berbentuk y = mx + n, maka m itulah gradiennya. Gak caya? Nih pembuktian rumusnya:

$kemiringan = \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$

Ingat bahwa, y₁= mx₁ + n, dan y₂= mx₂ + n.

$kemiringan = \frac{(mx_{1}+n)-(mx_{2}+n)}{x_{1}-x_{2}}$

$kemiringan = \frac{mx_{1}+n-mx_{2}-n}{x_{1}-x_{2}}$

Coret yang bisa dicoret.

$kemiringan = \frac{mx_{1}\cancel{+n}-mx_{2}\cancel{-n}}{x_{1}-x_{2}}$

$kemiringan = \frac{mx_{1}- mx_{2}}{x_{1}-x_{2}}$

Faktorkan.

$kemiringan = \frac{m(x_{1}- x_{2})}{x_{1}-x_{2}}$

Colet lagi.

$kemiringan = \frac{m\cancel{(x_{1}- x_{2})}}{\cancel{x_{1}-x_{2}}}$

$kemiringan=m$

Sip, telah terbukti, ternyata m adalah kemiringan. Mari qta gasih garnish sebagai tanda udah terbukti.

$kemiringan=m\blacksquare$

Okey siip.

Nah, untuk mencari gradien dari persamaan yang berbentuk y = mx + n tentu saja sangat gampang. Qta tinggal liat aja koefisien dari x-nya. Namun, bagaimana cara mencari gradien dari persamaan garis bentuk lain seperti Ax + By + C = 0 atau ax + by = c? Tentu, ini sangatlah mudah. Yang qta lakukan adalah menyendirikan y-nya sehingga persamaannya menjadi y = blablabla.

$Ax + By + C = 0$

$By = -Ax - C$

$y = \frac{-Ax - C}{B}$

$y = \frac{-Ax}{B}-\frac{C}{B}$

Nah, skarang udah berbentuk y = mx + n. Kelihatan dengan jelas bahwa...

$m = \frac{-A}{B}$

Persamaan garis emang berbagai macam bentuknya. Untuk mencari gradiennya, qta tinggal melakukan manipulasi aljabar saja.

Hubungan Dua Garis

Dua buah garis bisa memiliki hubungan satu sama lain. Kedua garis tersebut bisa saling berpotongan, tegak lurus, sejajar, dan saling berimpit.

Garis Saling Berpotongan

Dua garis bisa dikatakan saling berpotongan jika garis tersebut berada pada bidang datar dan berpotongan pada satu titik. Contohnya garis y = 3x + 2 dan garis y = 2x - 3 saling berpotongan pada titik (-5, -13).

Garis y = 3x + 2 (warna merah) dan garis y = 2x - 3 (warna biru)

Syarat dua garis berpotongan adalah gradiennya tidak sama, m₁ ≠ m₂. Terlihat bahwa, gradien dua garis di atas berbeda yakni 3 dan 2.

Garis Sejajar

Dua garis dikatakan sejajar apabila garis tersebut yah sejajar. Saat dua garis sejajar pada suatu bidang datar, dua garis tersebut tidak akan pernah bertemu atau berpotongan. Ini bisa terjadi apabila 2 garis tersebut mempunyai gradien yang sama (m₁ = m₂). Contohnya adalah garsis y = 8x - 9 dan garis y = 8x - 3 yang gradiennya sama-sama 8.

Garis y = 8x - 9 (warna merah) dan garis y = 8x - 3 (warna biru)

Garis Saling Tegak Lurus

Dua garis dikatakan saling tegak lurus apabila dua garis tersebut berpotongan dan membentuk sudut 90 derajat. Ini bisa terjadi apabila apabila hasil kali dari gradiennya sama dengan -1 atau bisa ditulis m₁× m₂ = -1. Contohnya garis y = -10x + 3 dan garis y = (1/10)x - 1 yang masing-masing gradiennya -10 dan (1/10). Ternyata, -10 × (1/10) = -1. Itu berarti, kedua garis tersebut saling tegak lurus.

Garis y = -10x + 3 (warna merah) dan garis y = (1/10)x - 1 (warna biru)

Garis Saling Berimpit

Dua garis dikatakan berimpit yah tentu saja karena emang berimpit. Jika kedua garis berimpit berimpit, maka garis2 tersebut haruslah mempunyai gradien yang sama, dan konstanta pada persamaannya juga harus sama. Itu berarti dua garis dikatakan berimpit apabila persamaan garisnya memang sama. Misalnya garis y = -5x + 0 dan garis y = -5x. Kedua persamaan ini sebenarnya sama cuma aing tambahin 0 biar keliatan beda. Berikut gambarnya.

Garis merah dan biru yang sama-sama merupakan garis y = -5x

Perhatikan dua garis di atas. Garis birunya sengaja aing gambar putus2 biar yang merah bisa keliatan karena emang garisnya berimpit. Nah, dah ngerti kan tentang dua garis yang saling berimpit? Oke siip, ini menjadi akhir dari postingan aing yah.

Okeh, sekian postingan dari aing. Semoga yu ngerti dan semoga juga bisa memberikan manfaat bagi qta semua. Kalo kurang paham, silahkan tanyakan di komeng. Kalo ada yang salah, silahkan diprotes di komeng. Sampe jumpa di postingan selanjutnya. Bye~