Deret Harmonik Itu Divergen

by Admin K on Friday, July 03, 2020 in Matematikamampus

Hai hai semua

. Ketemu lagi sama aing, Admin K yang kece lagi keyen

. Tentu saja, masih di blog kesayangan kita yang penuh dengan berkah dan cinta ini, KnK Land. Kali ini, aing akan membahas lagi tentang matematika.Yang bakal aing bahas kali ini adalah tentang deret sepesial yang bernama deret harmonik. Menurut sejarah, deret harmonik adalah deret yang divergen. Benarkah demikian? Mari kita kupas tuntas, cekidoot

.

Pertama-tama bagi kalian yang belum kenal, apa sih deret harmonik itu? Apakah ada hubungannya dengan musik? Yap, ada hubungannya dengan musik. Deret harmonik adalah deret yang suku-sukunya mirip dengan pola panjang gelombang nada-nada tinggi. Suku-sukunya mulai dari 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, dst. Jadi, suku ke-n dari deret ini adalah 1/n atau bisa kita tulis sebagai berikut guys.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$

Nama panjangnya adalah sebagai berikut.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...$

Nah itulah deret harmonik, salam kenal yah guys.

Selanjutnya, kita akan membahas kekonvergenan dari deret tersebut. Apakah deret tersebut konvergen atau menuju ke suatu nilai? Ataukah deret tersebut semakin besar dan semakin besar menuju tak hingga apabila dijumlahkan terus suku-sukunya? Sebelum itu, mari kita sambut dulu bintang tamu kita hari ini, yang pertama adalah si contoh deret divergen klasik, kita sambut Mr. Sum of Natural Numbers...

$\sum_{n=1}^{\infty }n$

Perhatikan si Mr. Sum of Natural Numbers. Jelas bahwa si Mr. SoNN ini ~~konvergen ke -1/12~~ divergen menuju tak hingga. Jelas, secara intuisi, kalo kita jumlahkan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + dst sampe tak hingga, maka jumlahannya pasti akan menuju tak hingga.

Kita sambut lagi bintang tamu kita yang kedua, Mr. Geometric Series with Ratio One Half...

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{2^{n}}$

Si Mr. Geometric Series with Ratio One Half ini merupakan deret yang konvergen lho. Yap, deret ini adalah deret yang konvergen ke 1. Jelas, berdasarkan intuisi, kalau kita jumlahkan 1/2 + 1/4 + 1/8 + dst maka jumlahannya tidak akan mencapai 1. Namun, kalau kita jumlahkan terus menerus, maka jumlahannya akan terus mendekat lalu mendekati 1. Jadi, deret tersebut konvergen.

Terus, bagaimana dengan permata kita hari ini, si deret harmonik?

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$

Kalau diperhatikan, kalo kita jumlahkan bilangan 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + dan seterusnya dan seterusnya, kita tambahkan dengan bilangan yang lebih kecil dan lebih kecil. Jadi, masuk akal yah kalau deret ini konvergen? Eits, jangan salah. Coba kita evaluasikan deret ini.
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+...$

Perhatikan deh, deret ini lebih besar dari deret berikut.
$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+...$

Kenapa deret harmonik lebih besar? Coba perhatikan dari suku ke-3, 1/3 > 1/4. Lalu kemudian lanjut ke suku ke-5 dan seterusnya, 1/5 > 1/8, 1/6 > 1/8, 1/7 > 1/8. Kalau kita perhatikan deret yang di bawah, 1/2 muncul 1 kali, 1/4 muncul 2 kali, 1/8 muncul 4 kali, dilanjutkan 1/16 muncul 8 kali dan seterusnya dan seterusnya. Kalu kita jumlahkan semua maka diperoleh

$1+\frac{1}{2}+{\color{Red} \frac{1}{4}+\frac{1}{4}}+{\color{Green} \frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}}+...\\ =1 +\frac{1}{2}+{\color{Red} \frac{1}{2}}+{\color{Green} \frac{1}{2}}+...$
Ternyata diperoleh deret yang divergen menuju tak hingga. Tadi kita sudah tahu kalau deret harmonik lebih besar dari deret ini. Dengan demikan, karena deret harmonik lebih besar dari deret ini, maka terbukti bahwa deret harmonik itu juga divergen, gak konvergen.

Nah, yang diatas itu sedikit ilustrasi saja. Selanjutnya, kita akan buktikan deret ini konvergen dengan lebih rigor. Kita ambil jumlahan parsial deret tersebut, kita akan tunjukkan jumlahan parsial akan terus bertambah dan bertambah. Caranya adalah dengan menggunakan induksi matematika. Akan kita tunjukkan untuk setiap k berlaku:

$\sum_{n=1}^{2^k}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{k}{2}$ .

Bukti:

Untuk k = 1, jelas

$\sum_{n=1}^{2}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{1}{2}$ .

Misalkan untuk k = m benar, akan ditunjukkan untuk k = m + 1 juga benar.
$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}+\sum_{n=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}$

Ingat bahwa, karena untuk m benar, maka
$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{2^{m}}\frac{1}{n}+\sum_{n=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^{m}+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}$

Perhatikan bahwa, untuk $n\leq 2^{m+1}$ berlaku $\frac{1}{n}\geq \frac{1}{2^{m+1}}$ , sehingga

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{2^{m+1}}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{2^{m+1}}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\sum_{n=2^m+1}^{2^{m+1}}\frac{1}{2^{m+1}}=1+\frac{m}{2}+\left ( 2^{m+1}-2^m \right )\frac{1}{2^{m+1}}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\left ( 2^{m+1}-2^m \right )\frac{1}{2^{m+1}}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+\left ( 2^{m+1}-2^m \right )\frac{1}{2^{m+1}}=1+\frac{m}{2}+2^m\left ( 2-1 \right )\frac{1}{2^{m+1}}$

$\sum_{n=1}^{2^{m+1}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{m}{2}+2^m\left ( 2-1 \right )\frac{1}{2^{m+1}}=1+\frac{m}{2}+\frac{1}{2}=1+\frac{m+1}{2}$

Jadi, terbukti bahwa, untuk setiap k berlaku
$\sum_{n=1}^{2^{k}}\frac{1}{n}\geq 1+\frac{k}{2}$

Dengan demikian, semakin banyak suku dari jumlahan parsial deret tersebut, maka deretnya akan menjadi lebih besar dari jumlahan parsial sampai suku ke-perpangkatan dari 2, nilai k akan semakin besar, nilai $1+\frac{k}{2}$ pun juga akan semakin besar menuju tak hingga, sehingga deret tersebut juga akan ikut semakin besar menuju tak hingga. Dengan demikian, deret harmonik terbukti divergen.

Jadi gimana? Apakah kalian mengerti kenapa deret harmonik divergen? Semoga kalian semua paham ya. Baiklah, sampai disini postingan dari aing. Semoga bermanfaat bagi kita semua. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~