Logaritma dan Sifat-Sifat Logaritma

 

Hai hai semua . Ketemu lagi sama aing, Admin K yang keyen lagi menawan . Tentu saja, masih di blog kesayangan qta yang penuh cinta ini, KnK Land. Kali ini aing bakal ngebahas tentang logaritma. Dari pengamatan aing, banyak sekali siswa yang bingung sama logaritma ini. Yah, emang wajar sih karena memang mereka goblok mereka tidak diajarkan dengan baik tentang logaritma. Bahkan, banyak yang tidak tau definisi logaritma itu seperti apa. Bahkannya lagi, saking susahnya, banyak para siswa yang membuli logaritma kalo logaritma itu kagak ada gunanya dalam kehidupan sehari2 padahal logaritma gak salah apa2, mereka aja yang kagak ngerti. So, mari qta langsung aja cekidoot .



Dalam matematika, qta mengenal yang namanya pangkat. Pangkat diartikan sebagai perkalian yang dilakukan secara berulang pada suatu bilangan. Misalnya saja 2 pangkat 3 yang ditulis seperti ini 2³ yang artinya sama dengan 2×2×2 (perkalian atau product dari 3 bilangan 2). Contoh lainnya yakni 3⁴ yang sama dengan 3×3×3×3 = 81. Pembahasan lebih lanjut tentang perpangkatan (misalnya pangkat negatif, pangkat nol, maupun pangkat pecahan) akan aing bahas di postingan yang berbeda karena postingan ini khusus untuk logaritma aja.

Dari uraian di atas, bilangan dapat berbentuk aⁿ (a pangkat n), dengan a merupakan bilangan pokok dan n merupakan pangkatnya. Apabila aⁿ  = b dan bilangan b dan n diketahui, maka a merupakan bilangan yang apabila dikalikan sebanyak n kali hasilnya adalah b. Sedangkan apabila hanya a dan b saja yang diketahui maka n merupakan bilangan yang apabila a dikalikan sebanyak n kali hasilnya adalah b.

Contoh :

a³  = 8. Carilah a!

Tentu jika qta menggunakan nalar dan logika qta, qta bisa menebak kalo a = 2 karena 2³ = 2×2×2 = 8. Berarti, a = 2.

Qta bisa menemukan nilai a hanya dengan mencabut nilai akar pangkat 3 dari 8. Lalu bagaimana untuk mencari nilai n atau pangkatnya?

2ⁿ  = 8

Yap, qta bisa menebak kalo n = 3. Namun bagaimana kalo a dan b tidak diketahui nilainya? Bagaimana kalo qta menyatakan fungsi n dengan variabel a dan b? Nah, fungsi tersebut dapat dinotasikan atau dilambangkan dengan logaritma.

Apabila aⁿ  = b, maka nilai n dapat dinyatakan sebagai berikut: 

n = ^a log b 

Kadang notasi tersebut juga ditulis sebagai berikut:

n = log_a b

Kedua cara penulisan tersebut memiliki makna yang sama. Terkadang apabila a = 10, 10 tidak perlu ditulis. Namun, ada juga yang tetap nulis 10 tapi kalo a = e maka e tidak perlu ditulis (Pembahasan tentang bilangan e akan mimin sajikan nanti. Jangan tanya disini).  Arti dari notasi di atas kira-kira seperti ini "n adalah suatu bilangan yang apabila a dipangkatkan bilangan tersebut maka hasilnya adalah b". Aing harap yu bisa ngerti yah.

Perlu diperhatikan bahwa apabila n = log_a b, maka a^{log_a b}  = b karena aⁿ  = b. Itu berarti a^{log_a b}  = b.

Sifat-Sifat Logaritma

Disini aing bakal sajikan apa saja sifat2 dari logaritma beserta pembuktiannya.

Sifat 1 - Perkalian Menjadi Penjumlahan

Pembuktian:

Misalnya saja n^c  = a, dan n^d  = b, maka
ab = n^cn^d = n^c+d
Itu artinya 
log_n ab = c + d
Perlu diingat bahwa n^c  = a dan n^d  = b. Berarti c = log_n a, dan d = log_n b. Masukkan ke persamaan merah tadi.
log_n ab = log_n a + log_n b
Terbukti.

Sifat 2 - Pembagian Menjadi Pengurangan

Pembuktian:

Misalnya saja n^c  = a, dan n^d  = b, maka
ab = n^c/n^d = n^c-d
Itu artinya 
log_n a/b = c - d
Perlu diingat bahwa n^c  = a dan n^d  = b. Berarti c = log_n a, dan d = log_n b. Masukkan ke persamaan merah tadi.
log_n a/b = log_n a - log_n b
Terbukti.

Sifat 3 - Yah Gitu

Pembuktian:

Tentu saja, sesuai definisi logaritma tadi, n dipangkat berapa agar hasilnya sama dengan n^a. Yap, pastilah harus dipangkatkan a. Terbukti.

Sifat 4 - Log 1

Pembuktian:

Setiap bilangan yang dipangkatkan 0 hasilnya 1 kecuali 0. Terbukti.

Sifat 5 - Mengeluarkan Pangkat

Pembuktian:

log_n a^b = log_n (a×a×a×...×a) Ket: perkalian a sebanyak b kali
Dengan menggunakan sifat 1,
log_n (a×a×a×...×a) = log_n a + log_n a + ... + log_n a Ket: penjumlahan sebanyak b kali
log_n (a×a×a×...×a) = b×(log_n a)
log_n a^b = b log_n a
Terbukti.

Sifat 6 -  Aturan Domino

Pembuktian:

Misalkan AB = log_a b, BC =  BC = log_b c, dan AC = log_a c.

(a^AB)^BC = (a^AC)
(a^{log_a b})^{log_b c} = (a^{log_a c})
(b)^{log_b c} = (a^{log_a c}) Ket: Lihat tulisan hijau tadi.
c = (a^{log_a c})
c = c
Terbukti.  

Sifat 7 - Mengeluarkan Pangkat Yess

Pembuktian:

Untuk yang m, aing pikir udah masuk akal (lihat sifat 5). Bagaimana dengan yang n?
log_aⁿ b^m = m (log_aⁿ b) Ket: Menggunakan sifat 5.
Misalkan x = log_aⁿ b
Berarti, (aⁿ)^x = b
(a^x)ⁿ = b
a^x = b^1/n 
x = log_a b^1/n
log_aⁿ b = log_a b^1/n = (1/n)log_a b
Masukkan ke persamaan ungu di atas.
log_aⁿ b^m = m ((1/n)log_a b) =  (m/n)log_a b
Terbukti.

Sifat 8 - Ya gitu

 

Pembuktian:

Semua bilangan yang dipangkatkan 1 adalah bilngan itu sendiri. 0 pangkat 1 memang tetap 0. Namun, 0 pangkat 2 juga hasilnya 0. Terbukti.

Sifat-Sifat Lain Yang Aing Malas Tulis Pembuktiannya (Cari di Google Aja)

•  
• , n terserah kecuali 0 dan 1.
•  

Nah, itulah sekilas tentang logaritma beserta sifat2nya. Semoga bisa memberi manfaat bagi yu yu semua. Kalo kurang paham, silahkan komeng. Kalo ada kesalahan, silahkan komeng juga. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~