. Ketemu lagi sama aye, Admin K yang kaya lagi berkelas 
. Tentu saja, masih di blog kesayangan kita yang penuh dengan ribuan pengunjung ini, KnK Land. Kali ini, aye akan ngebahas tentang salah satu bidang matematika yang matematika banget yaknil aljabar abstrak. Hmm, nama yang mengerikkan ya untuk suatu bidang dalam matematika. Oleh karena itu disini aye akan memperkenalkan dasar aljabar abstrak dimulai dari membahas tentang grup. Seperti kata pepatah, "Tak maka tak berani", marilah kita berkenalan dulu dengan aljabar abstrak. Langsung saja kita cekidoot 
.
Pendahuluan
Dalam matematika, terdapat banyak sekali bidang, ada yang membahas bilangan bulat, ada yang membahas vektor, ada yang membahas bilangan imajiner, kuaternion, dll. Di fisika kita juga sering membahas macam-macam, ada yang membahas medan/lapangan, ada yang membahas ruang, dll. Semuanya tampak berbeda tapi meski berbeda-beda semuanya ada kesamaan. Matematikawan atau bahkan para ilmuwan di bidang lain sadar kalau kita sebenarnya menggunakan tools atau alat yang sama. Suatu alat yang dinamakan himpunan dan ternyata selama ini kita menggunakan himpunan yang berbeda tapi mempunyai sifat yang sama. Himpunan-himpunan itu dilengkapi oleh operasi dan juga mempunyai sifat yang terikat dengan operasi tersebut. Ada yang komutatif, ada yang asosiatif, ada yang mempunyai identitas, dll.
Mari kita bahas himpunan. Himpunan adalah kumpulan berbagai objek yang terdefinisikan dengan jelas. Kita bisa membuat himpunan apa saja, misalnya himpunan bilangan asli, himpunan warna, himpunan huruf dalam alpabet, himpuanan bilangan genap, himpunan negara-negara di dunia, himpunan mata uang, dll. Kadang, kita juga bisa membuat operasi dalam himpunan tersebut dengan menginteraksikan 2 atau lebih objek pada himpunan itu. Dari interaksi tersebut kita mendapatkan objek baru entah objek tersebut masih berada dalam himpunan itu ataupun tidak.
Sebagai contoh, kita punya himpunan bilangan bulat. 2 dan 3 sama-sama ada di himpunan bilangan bulat. Kalau kita buat interaksi antara 2 dan 3 dengan operasi tambah (+), maka kita akan peroleh hasilnya adalah 5 yang juga merupakan bilangan bulat.
Contoh lain, kita punya himpunan warna dasar/primer yang isinya adalah warna cyan (biru muda), magenta (ungu kemerahan), dan kuning. Kita bisa interaksikan warna cyan dan warna kuning dengan operasi pencampuran warna, sehingga hasilnya adalah warna hijau yang berada di luar himpunan warna dasar.
Jadi, kita bisa membuat operasi pada himpunan sehingga operasinya bisa saja menghasilkan objek baru yang berada di himpunan tersebut atau sebaliknya justru ke luar dari himpunan tersebut. Suatu operasi yang selalu menghasilkan objek yang tetap berada di himpunan yang sama disebut operasi biner.
Dalam aljabar, kita bebas membuat himpunan apa saja dan mendefinisikan operasinya sesuai dengan yang kita mau. Lalu, urusan belakangannya adalah apakah kita dapat memanfaatkan himpunan dengan operasi demikian atau tidak. Aljabar memberikan ruang yang tak terbatas untuk kita berkreasi membuat hal-hal baru dalam matematika. Setelah membuat suatu kreasi, kreasi itu bisa kita kembangkan atau kalau beruntung bisa dimanfaatkan.
Terdapat 2 cara mendefinisikan operasi, cara pertama adalah dengan cerita. Cara kedua adalah dengan menggunakan tabel operasi atau biasa disebut tabel Cayley.
Misalkan pada himpunan bilangan bulat, kita definisikan operasi ✮ seperti ini untuk setiap a dan b bilangan bulat.
a ✮ b = a + b + 2×a×b
Catatan: Operasi (+ dan ×) yang digunakan masih operasi penjumlahan dan perkalian biasa anak kelas sekolahan.
Kita bisa operasikan 10 dan 7 dengan operasi tersebut, kita peroleh
10 ✮ 7 = 10 + 7 + 2×10×7 = 17 + 140 = 157
Contoh lain, misal kita definisikan operasi pada bilangan riil sebagai berikut.
a ⬔ b = bilangan terbesar antara a dan b
Jika kita mengoperasikan 11 dengan 12,4 maka diperoleh
11 ⬔ 12,4 = 12,4 sebab bilangan yang terbesar adalah 12,4
Mudah bukan? Inilah yang dinamakan membuat operasi dengan cara cerita. Kita definisikan operasi tersebut dengan kata-kata atau ekspresi kombinasi dari operasi yang sudah pernah kita ketahui.
Contoh untuk cara tabel. Misalkan kita punya himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4}. Kita bisa definisikan operasi ♦ (kita bebas memilih simbol operasi) sebagai berikut.
|
♦
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
|
0
|
0
|
4
|
3
|
2
|
2
|
|
1
|
1
|
3
|
2
|
3
|
2
|
|
2
|
2
|
4
|
2
|
1
|
1
|
|
3
|
2
|
1
|
2
|
3
|
2
|
|
4
|
4
|
1
|
3
|
1
|
0
|
Dengan menggunakan tabel operasi tersebut kita bisa operasikan elemen-elemen dari A. Kita sepakati unsur yang dikiri dalam operasi adalah baris, sedangkan unsur yang di kanan adalah kolom. Contohnya, kita operasikan 2 dan 0 diperoleh 2♦0 = 2 dan 0♦2 = 3. Perhatikan bahwa, operasi ini tidak bersifat komutatif. Jadi, dalam aljabar abstrak, kita bebas membuat operasi dan operasi tersebut tidak harus komutatif bahkan tidak harus asosiatif. Ingat bahwa operasi di dunia ada banyak sekali, ada yang komutatif ada yang tidak, ada yang asosiatif ada juga yang tidak. Ini juga menjadi perhatian dalam aljabar abstrak yakni sifat-sifat operasi dalam himpunan.
Suatu himpunan misalnya A yang dilengkapi suatu operasi misalnya ♦ biasanya ditulis berpasangan berurutan seperti ini (A,♦) yang artinya adalah himpunan A yang dilengkapi dengan operasi ♦. Sebagai contoh (ℤ,+) artinya adalah himpunan bilangan bulat yang dilengkapi dengan operasi +.
Grup
Selanjutnya, mari kita bahas grup. Kita perhatikan himpunan bilangan bulat. Bilangan bulat bisa dioperasikan dengan operasi tambah sehingga bisa ditulis (ℤ,+). Mari kita lihat sifat-sifatnya. Sudah menjadi pengetahuan umum kalau operasi penjumlahan (+) bersifat komutatif dan asosiatif. Selain itu, kita tahu bahwa bilangan bulat ditambah bilangan bulat hasilnya tetap adalah bilangan bulat. Dengan demikian, operasi + di ℤ adalah suatu operasi biner pada ℤ atau dengan kata lain juga ℤ tertutup terhadap operasi +.
Kita perhatikan unsur 0 di ℤ. Ternyata, apapun ditambah 0 pasti menghasilkan apapun itu sendiri, misalnya 1 + 0 hasilnya tetap 1, 0 + -12 hasilnya tetap -12. Secara umum a + 0 = 0 + a = a. Ternyata 0 tetap "mengawetkan identitas" elemen yang lain, sehingga 0 disebut unsur identitasi penjumlahan dari himpunan ℤ.
Kita perhatikan lagi, ternyata setiap elemen di ℤ mempunyai lawan yakni negatifnya sehingga apabila dioperasikan kedua elemen akan saling habis dan menghasilkan unsur identitas yakni 0. Sebagai contoh lawan dari 2 adalah -2 karena 2 + (-2) = 0. Jadi, secara umum, setiap elemen misanya saja a di ℤ pasti mempunyai lawan yakni -a yang juga di ℤ sehingga a + (-a) = (-a) + a = 0.
Jadi, himpunan (ℤ,+) bersifat tertutup terhadap operasi +, asosiatif, komutatif, mempunyai identitas yakni 0, dan setiap elemennya mempunyai invers.
Mari kita masuk ke contoh lain. Contohnya adalah himpunan matriks 2×2 yang inversibel (mempunyai invers) dengan operasi perkalian matriks ×. Kita simbolkan himpunan ini dengan (GL2,×).
Operasi pada himpunan ini adalah operasi ×. Suatu matriks 2×2 yang inversibel dikali dengan matriks 2×2 yang inversibel maka hasilnya juga tetap adalah matriks 2×2 yang inversibel. Selain itu, operasi ini juga asosiatif tapi tidak komutatif. Himpunan GL2 juga mempunyai unsur identitas yakni matriks identitas. Selain itu, setiap elemennya pasti mempunyai invers berdasarkan definisi.
Apa sifat yang sama yang dimiliki oleh (ℤ,+) dan (GL2,×)? Sifat-sifatnya adalah tertutup (mempunyai operasi biner), asosiatif, mempunyai identitas, dan elemen-elemennya mempunyai invers. Ternyata bukan hanya himpunan-himpunan ini saja yang mempunyai sifat seperti ini. Ruang vektor, lapangan, dan lain-lain juga punya sifat seperti ini. Semua himpunan yang dilengkapi operasi dan mempunyai keempat sifat ini yakni tertutup, asosiatif, mempunyai identitas, elemennya mempunyai invers disebut grup.
Definisi Grup
Misalkan G adalah himpunan dengan operasi ✮. Himpunan G dengan operasi ✮ atau ditulis (G,✮) disebut grup jika memenuhi syarat-syarat berikut.
1. ✮ adalah operasi biner sehingga G tertutup atas operasi ✮. Maksud tertutup disini adalah untuk setiap elemen x,y ∈ G selalu berlaku juga x ✮ y ∈ G. Jadi, jika kita mengoperasikan 2 elemen di G dengan operasi ✮ maka hasil operasinya juga ada di G.
2. Operasi ✮ bersifat asosiatif yakni untuk setiap x, y, z ∈ G berlaku (x✮y)✮z=x✮(y✮z). Jadi, mengoperasikan x✮y ataupun y✮z hasilnya sama saja.
3. Terdapat suatu elemen e ∈ G sehingga x✮e = e✮x = x untuk setiap x ∈ G. Unsur e ini disebut "elemen identitas" sebab jika unsur lain dioperasikan dengan e maka hasilnya adalah unsur itu sendiri (unsur e mengawetkan atau mempertahankan identitas dari unsur yang dioperasikan dengannya).
4. Untuk setiap x ∈ G terdapat y ∈ G sehingga x✮y = y✮x = e. Unsur y ini disebut invers dari x. Lengkapnya y adalah invers dari x atas operasi ✮. Untuk menyatakan invers sering digunakan tanda negatif (di depan) yang biasa digunakan pada operasi penjumlahan atau menggunakan tanda pangkat -1 yang biasa digunakan pada operasi perkalian. Jadi y = -x atau y = x-1.
Kenapa mendefinisikan grup ini penting?
Jika kita perhatikan dengan seksama banyak himpunan yang dilengkapi operasi dalam matematika mempunyai sifat-sifat yang sama seperti ruang vektor, himpunan bilangan bulat, himpunan matriks, dan lain-lain. Semuanya mempunyai operasi dan operasi tersebut bersifat asosiatif, punya identitas, tertutup, dan adanya invers untuk setiap elemennya. Oleh karena itu, bagaimana kalau kita telaah semuanya secara umum? Kita buat nama baru untuk objek-objek yang sifatnya sama kemudian kita teliti sifatnya lebih lanjut secara umum dengan melakukan abstraksi. Tentu saja dalam pendefinisian kita juga harus memperhatikan aspek manfaatnya. Kalau definisinya terlalu longgar, maka teori grup bisa menjadi membosankan karena gak ada spesial-spesialnya bahkan gak guna karena bisa jadi teorema yang kita dapat nantinya hanya sedikit. Kalo definisinya terlalu ketat, maka hanya sedikit grup yang bisa kita bicarakan sehingga gak guna juga. Perhatikan bahwa dalam definisi grup kita tidak memerlukan sifat komutatif sebab ada banyak sekali himpunan yang dilengkapi operasi yang tidak komutatif sehingga kalau kita menambahkan perlunya sifat komutatif pada grup maka kita juga harus membuang himpunan-himpunan tersebut.
Selain grup, ada pula struktur-struktur aljabar lain misalnya monoid, gelanggang, lapangan, integral domain, ruang vektor, modul dan lain-lain ada banyak sekali yang mungkin bakal aye bahas nanti di postingan yang jauh akan datang sebab petualangan kita di dunia aljabar abstrak masih sangat panjang.
Baiklah, cukup sekian postingan aye kali ini. Untuk selanjutnya dari seri pengantar aljabar abstrak ini, aye akan membahas contoh-contoh grup. Kalau ada pertanyaan, sanggahan, komentar, tanggapan, saran, protes, tambahan, serta pengen silutarhmi aja, silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~
No comments:
Post a Comment