Serba-Serbi Tentang Himpunan

Hai hai semua . Ketemu lagi sama aye, Admin K yang keyen lagi kuul . Tentu saja, masih di blog kesayangan kita yang penuh dengan canda tawa ini, KnK Land. Kali ini, aye akan membahas lagi tentang matematika buat mempromosikan kepintaran aye dalam bermatematika, muehehe. Di postingan ini, aye akan berusaha menjelaskan secara lengkap mengenai himpunan. Aye harap postingan ini bisa bermanfaat dan kalian semua bisa paham ya, hehe. Oke, langsung aja, kita cekidoot ke postingannya .

Apa yang kalian pikirkan saat mendengar atau melihat kata "himpunan"? Saat mendengar atau melihat kata "himpunan", mungkin di benak kalian ada sekelompok benda yang entah itu apa, yang penting jumlahnya banyak dan berada dalam suatu wadah atau bingkisan atau ruangan atau apalah. Yang penting ada semacam tempat/wadah, beserta isi-isinya. Yah, gak tau juga isi pikiran kalean, moga aja emang gitu. Nah, himpunan dalam matematika yah gak beda-beda jauh sama apa yang di benak kalian (kalo kalian mikir begitu).

Nah, apa itu himpunan? Himpunan adalah semacam koleksi atau sekumpulan objek-objek. Ada yang bilang objek-objek tersebut mempunyai sifat yang sama sehingga bisa dalam suatu himpunan.

Contohnya saja "himpunan orang-orang yang pernah menjabat menjadi presiden di Indonesia". Dalam himpunan ini, yang menjadi anggotanya adalah Bapak Soekarno, Bapak Soeharto, Bapak Habibie, Bapak Gus dur, Bapak, eh, Ibu Megawati, Bapak SBY, Bapak Jokowi, dan bapak-bapak/ibu-ibu laennya kalo udah ada update-an terbaru dari presiden Indoneisa.

Dalam matematika, himpunan biasanya ditulis dengan tanda kurung "{}" dan setiap anggotanya ditulis di dalam dengan tanda koma (",") sebagai pemisah. Contohnya yah, itu tadi, "himpunan orang-orang yang pernah menjadi presiden di Indonesia dapat ditulis sebagai berikut.

{Soekarno, Soeharto, Habibie, Gus Dur, Megawati, SBY, Jokowi}

Mudah bukan? Aye kasih contoh lain, misalnya "himpunan pulau-pulau besar di Indonesia" sebagai berikut.

{Sumatera, Kalimantan, Jawa, Sulawesi, Papua}

Kadang juga, himpunan ditulis tidak dengan cara daftar anggotanya melainkan dengan cara menulis sifat-sifatnya saja. Misalnya A = {x | x adalah negara anggota ASEAN} yang artinya himpunan semua x dengan x adalah negara anggota ASEAN atau dengan kata lain himpunan semua negara anggota ASEAN.

Misalkan y adalah anggota dari himpunan G. Ini biasanya ditulis y ∈ G. Sebagai contoh 2 ∈ ℤ dengan ℤ merupakan himpunan bilangan-bilangan bulat. Sebaliknya, kalau bukan anggota, maka tanda ∈-nya dicoret dengan garis miring menjadi ∉. Contohnya Prabopass ∉ himpunan orang yang pernah menjadi presiden di Indonesia.

Disini, aye hanya akan memberikan sedikit ringkasan mengenai berbagai hal tentang himpunan. Adapun untuk penjelasan lebih dalam mengenai masing-masing hal mungkin bakal aye posting lain kali.

Himpunan Bagian

Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian (subset/subhimpunan) dari himpunan B, ditulis "A ⊆ B" apabila semua anggota di himpunan A juga merupakan anggota di himpunan B. "A ⊆ B" menunjukkan A bisa sama dengan B. Adapun, untuk subset sejati yakni A tidak sama dengan B, biasanya ditulis "A ⊂ B". Namun, terkadang, di beberapa buku, simbol ini juga biasa digunakan meskipun A = B.

Kebalikannya, himpunan A dikatakan bukan himpunan bagian, ditulis "A ⊄ B" atau "A ⊈ B" (untuk A tidak boleh sama dengan B) apabila terdapat paling tidak satu anggota di A yang bukan merupakan anggota di B.

Setiap himpunan merupakan himpunan bagian bagi dirinya sendiri. Jadi untuk setiap himpunan A, "A ⊆ A" atau "A ⊂ A" (sekali lagi, ini cuma masalah notasi, tiap buku berbeda-beda). Buktinya trivial. (Untuk selanjutnya kita gunakan notasi "A ⊂ B" saja untuk menyatakan subset meskipun A bisa sama dengan B).

Jika n(A) adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah sebanyak 2^n(A).

Hubungan Antara Dua Himpunan

Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas atau saling asing apabila tidak ada anggota persekutuan atau anggota yang sama antara himpunan A dan B. Dengan kata lain, tidak ada objek yang menjadi anggota di A sekaligus anggota di B.

Himpunan A dan himpunan B dikatakan saling berpotongan (tidak saling lepas) apabila A dan B mempunyai anggota persekutuan (mempunyai anggota yang sama). Jadi, ada anggota dari himpunan A yang juga merupakan anggota dari himpunan B atau sebaliknya.

Himpunan A sama dengan himpunan B, ditulis "A = B" apabila anggota A tepat sama dengan anggota B. Dengan kata lain, semua anggota di A juga merupakan anggota di B dan semua anggota di B juga merupakan anggota di A. Singkatnya, jika A ⊂ B dan B ⊂ A maka A = B.

Himpunan A dikatakan ekuivalen/ekuipoten dengan himpunan B jika banyaknya anggota A sama dengan banyaknya anggota B.

Operasi Himpunan

Irisan himpunan A dan B, ditulis "A ∩ B" merupakan himpunan baru yang anggota-anggotanya adalah anggota di A sekaligus anggota di B. Jadi
A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B}. 

Sifat: Jika A ⊂ B maka A ∩ B = A.

Gabungan himpunan A dan B, ditulis "A ∪ B" adalah himpunan baru yang anggotanya adalah semua anggota di A dan semua anggota di B. Dengan kata lain, setiap anggota di A ∪ B merupakan anggota di A atau anggota di B (bisa juga anggota di A dan B sekaligus). Jadi
A ∪ B = {x | x ∈ A atau x ∈ B}.

Sifat: Jika A ⊂ B maka A ∪ B = B.

Hubungan banyak anggota himpunan, irisan dan gabungan:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) .

Selisih himpuan A dan himpunan B, ditulis "A - B" atau "A\B" adalah himpunan baru yang anggotanya adalah anggota himpunan A yang bukan anggota di himpuna B. Jadi,

• A - B  = {x | x ∈ A dan x ∉ B}, dan
• B - A = {x | x ∈ B dan x ∉ A}.

Komplemen dari himpunan A, ditulis "A^c" adalah suatu himpunan baru yang anggota-anggotanya merupakan anggota himpunan semesta (S) tetapi bukan anggota A. Jadi,
A^c = {x | x ∈ S dan x ∉A}.

Beberapa Sifat Operasi Dua Himpunan (Silakan Dibuktikan)

Pada sifat-sifat di bawah ini, S adalah himpunan semesta dan ∅ = {} adalah himpunan kosong.

Sifat-Sifat Operasi Gabungan

• A ∩ B = B ∩ A (komutatif)
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asosiatif)
• A ∩ A = A (identitas 1)
  
• A ∩ ∅ = ∅ (identitas 2)
• A ∩ S = A (identitas 3)

 

Sifat-Sifat Operasi Irisan

• A ∪ B = B ∪ A (komutatif)
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asosiatif)
• A ∪ A = A (identitas 1)
• A ∪ ∅ = A (identitas 2)
• A ∪ S = S (identitas 3)

 

Sifat Distributif

• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (distributif irisan terhadap gabungan)
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (distributif gabungan terhadap irisan)

 

Sifat Komplemen

• A ∪ A^c = S
  
• A ∩ A^c = ∅
• (A^c)^c = A

Hukum De Morgan

• (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
• (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c

Oke siip. Cukup sekian postingan aye kali ini. Moga bermanfaat bagi kita semua. Kalo ada pertanyaan, tambahan, protes, dan lain-lain silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~