Bilangan Rasional dan Irasional

Hai hai semua

. Ketemu lagi sama aye, Admin K yang kece lagi pinter

. Tentu saja, masih di blog kesayangan kita yang penuh dengan kecerahan ini, KnK Land. Di postingan ini, aye akan membahas tentang pembagian bilangan yakni bilangan rasional dan bilangan irasional. Apa yang menyebabkan suatu bilangan disebut bilangan rasional dan apa juga yang menyebabkan suatu bilangan disebut bilangan irasional. Langsung saja kita mulai cekidoot

Dalam matematika, kita mengenal berbagai macam bilangan mulai dari bilangan bulat, pecahan, bilangan negatif, bilangan kuadrat, bilangan prima, bilangan riil, hingga bilangan kompleks. Bahkan, masih banyak lagi jenis-jenis bilangan selain itu semua. Semua bilangan yang kita kenali berada dalam satu garis bilangan mulai dari bilangan bulat, pecahan, prima, negatif, bilangan akar, akar polinomial, π, e, dll yang bisa kita bandingkan satu sama lain dengan tanda "<" ataupun ">" disebut bilangan riil. Bilangan riil itu sendiri dibagi menjadi dua yakni bilangan rasional dan bilangan irasional. Apa yang dimaksud dengan bilangan rasional serta bilangan irasional?

Setiap bilangan riil, apakah bulat ataupun pecahan dapat ditulis dalam bentuk fraction yang terdiri atas pembilang dan penyebut. Bilangan riil yang bisa ditulis sebagai $\frac{m}{n}$ dengan m dan n adalah bilangan bulat disebut bilangan rasional. Misalnya 0,5 atau setengah dapat ditulis 1/2 atau $\frac{1}{2}$ . Nah, karena 1 dan 2 bilangan bulat, itu berarti 0,5 adalah bilangan rasional. Semua bilangan bulat juga merupakan bilangan rasional karena setiap bilangan bulat n pasti bisa ditulis n/1 atau $\frac{n}{1}$ .

Untuk memberikan contoh bilangan rasional memang sangat mudah. Kita tinggal berikan saja 2 buah bilangan bulat misalkan m dan n. Berarti m/n atau $\frac{m}{n}$ adalah contoh bilangan rasional. Untuk membuktikan suatu bilangan adalah bilangan rasional juga cukup mudah lho! Yang penting kita bisa menemukan nilai m dan n-nya.

Ciri-ciri bilangan rasional dapat kita lihat di belakang komanya, akan selalu ada angka yang berulang.

Contoh 1
0,33333... dengan angka 3 yang berulang-ulang sebanyak tak terhingga. Bilangan ini bisa kita tulis 1/3 sebab 1/3 = 0,333... . Berarti 0,333... adalah bilangan rasional.

Contoh 2
185,9825555... dengan 5 yang berulang terus menerus yang banyaknya tak terhingga. Bilangan ini bisa kita tulis 1673843/9000 sebab 1673843/9000 bentuk desimalnya memang 185,982555... . Berarti 185,982555... adalah bilangan rasional.

Contoh 3
3,8 adalah bilangan rasional. Memang di belakang komanya tidak ada angka yang berulang. Akan tetapi, sebenarnya ada angka yang berulang di belakangnya yakni angka-angka 0 yang tidak perlu ditulis. Jadi 3,8 = 3,80000... . 3,8 itu sendiri bisa ditulis 38/10 sehingga tentu saja merupakan bilangan rasional.

Contoh 4
3,142857142857142857... dngan 142857 muncul berulang-ulang. Tentu, bilangan ini sangat familiar. Yap, ini adalah bilangan pendekatan nilai π yakni 22/7 yang sering digunakan di sekolah-sekolah, hehe. Nilai pendekatan π ini tentu saja merupakan bilangan rasional karena dapat ditulis 22/7 dan tentu saja 22 dengan 7 adalah bilangan bulat. Adapun, π itu sendiri bukanlah bilangan rasional melainkan irasional. 22/7 cuma nilai pendekatan biar lebih gampang hitungnya di sekolah-sekolah, hehe.

Nah, itulah ciri-ciri bilangan rasional. Bilangan rasional pasti mempunyai angka yang berulang-ulang di belakang koma baik itu 0 ataupun bukan 0. Perlu diingat bahwa angkanya harus ada di bagian akhir dan memang benar-benar berulang-ulang. Contoh berikut bukanlah bilangan rasional meskipun ada pola yang berulang-ulang:
2.110100100010000100000... dst dengan angka yang muncul mengikuti pola 1, 10, 100, 1000, dst. Ini bukanlah bilangan rasional. Untuk membuktikan ini irasional tentu sangat sulit. Disini aye gak bakal buktiin.

Nah, itulah pengertian, contoh, beserta ciri-ciri bilangan rasional. Sekarang, kita bakal ngebahas tentang bilangan irasional. Bilangan irasional merupakan kebalikan dari bilangan rasional. Jadi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa ditulis sebagai pembagian antara dua buah bilangan bulat. Berarti bilangan irasional tidak dapat ditulis dalam bentuk m/n atau $\frac{m}{n}$ dengan m dan n bilangan bulat.

Contoh bilangan irasional yang lain adalah $\sqrt{2}$ . Kenapa $\sqrt{2}$ termasuk bilangan irasional? Kalau diperhatikan bentuk desimalnya, memang bentuknya tidak berulang yakni 1.414213... dst tapi tidak ada pengulangan. Untuk membuktikan suatu bilangan irasional tidak serta merta hanya dilihat dari beberapa angka di belakang komanya. Karena bentuknya tidak berulang dan tidak berujung, tentu sangat sulit untuk membuktikan kalau $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional ataupun bilangan irasional. Sebenarnya, ada caranya untuk membuktikan $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. Berikut pembuktianya .

Untuk membuktian $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, caranya sangat mudah. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pembuktian dengan kontradiksi. Apa itu pembuktian dengan kontradiksi? Pembuktian dengan kontradiksi adalah pembuktian yang diawali dengan suatu asumsi lalu dari asumsi tersebut kita harus antarkan sehingga terjadi kontradiksi.

Oke, mari kita mulai. Untuk membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, kita buat suatu pengandaian. Andaikan $\sqrt{2}$ itu bilangan rasional. Mari kita lihat apakah akan terjadi kontradiksi.

Nah, karena $\sqrt{2}$ bilangan rasional, pastinya kita bisa menulis $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat. Tanpa menghilangkan keumuman, kita asumsikan a dan b adalah bilangan positif yang saling prima sehingga $\frac{a}{b}$ adalah bentuk pecahan yang paling sederhana berarti gak bisa disederhanakan lagi. Dengan kata lain, $a$ dan $b$ saling prima atau mempunyai faktor persekutuan terbesar 1.

Diperoleh

$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^2=2$
$\frac{a^2}{b^2}=2$
$a^2=2b^2$

Dari sini terlihat bahwa $a^2$ adalah kelipatan 2 atau genap, berarti $a$ juga adalah bilangan genap (kenapa?). Karena $a$ adalah kelipatan 2, kita bisa tulis $a=2k$ dengan $k$ adalah bilangan bulat. Kita substitusikan ke persamaan terakhir diperoleh

$(2k)^2=2b^2$

$4k^2=2b^2$

Bagi 2 kedua ruas diperoleh

$2k^2=b^2$

Dengan demikian, terlihat jelas bahwa $b^2$ habis dibagi 2. Karena $b^2$ habis dibagi 2, maka $b$ juga harus habis dibagi 2. Ingat pula bahwa tadi sudah ditunjukkan $a$ habis dibagi 2. Sehingga, diperoleh $a$ dan $b$ sama-sama habis dibagi 2. Hal ini jelas kontradiksi dengan asumsi bahwa $a$ dan $b$ mempunyai faktor persekutuan terbesar 1. Karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian bahwa $\sqrt{2}$ adalah salah. Jadi, haruslah yang benar $\sqrt{2}$
adalah bilangan irasional.

Bagaimana mudah bukan pembuktiannya? Kalian juga bisa menggunakan cara ini untuk membuktikan $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , dll juga adalah bilangan irasional. Selain akar dari bilangan bulat yang bukan kuadrat sempurna, ada juga bilangan irasional yang lain yang bisa dibuktikan irasional tapi agak sulit dibuktikan misalnya $\pi$ , $e$ , dll.

Baik, cukup sekian postingan kali ini. Semoga kalian enjoy dan semoga postingan ini bermanfaat bagi kita semua. Kalau ada pertanyaan, sanggahan, tambahan, tanggapan, komentar, protes, ataupun kritikan, kalain bisa sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~