Ruang Metrik Apaan? Beserta Contoh-Contohnya

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan ini, aye bakal ngejelaskan definisi ruang metrik serta sedikit intuisi di baliknya. Secara garis besar, disini aye bakal ngejelasin apa itu ruang metrik beserta contoh-contohnya.

Oke-oke. Mari kita mulai dari pengertian metrik. Mendengar kata metrik mungkin kalian teringat dengan sistem pengukuran misalnya pengukuran jarak (itu kalo kalian sering membaca). Nah, dalam matematika istilah metrik diartikan sebagai semacam abstraksi dari jarak. Penasaran seperti apa? Mari kita lihat dulu contoh sederhana yang sering kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari (setidaknya di kehidupan sekolah). Mari kita amati jarak dua titik pada bidang koordinat kartisius.

Sebagai contoh, mari kita amati dulu jarak antara titik (7, -18) dan (6, -3).

Berapakah jarak dari titik (7, -18) ke titik (6, -3). Bagaimana cara memperoleh jaraknya? Tentu sangat mudah. Kita tahu bahwa masalah ini bisa diselesaikan dengan menggunakan teorema Phytagoras.

Dengan menggunakan teorema Phytagoras, maka diperoleh jarak deri kedua titik adalah

$\sqrt{(7-6)^2+(-18-(-3))^2}=\sqrt{1^2+(-15)^2}=\sqrt{1+225}=\sqrt{226}$

Secara umum, untuk sebarang dua titik $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ di bidang koordinat kartesius, jaraknya adalah

$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$

Setiap titik di bidang koordinat kartesius dapat direpresentasikan sebagai pasangan berurutan dua bilangan riil. Himpunan yang memuat semua pasangan berurutan bilangan riil dinotasikan dengan simbol $\mathbb{R}^2$ . Jadi, $\mathbb{R}^2 = \left \{ (x,y)| x,y \in \mathbb{R} \right \}$ . Setiap mengambil mengambil dua elemen $(x_1,y_1)$ dan $(x_2,y_2)$ di himpunan $\mathbb{R}^2$ , kita bisa mencari jarak dari kedua elemen tersebut dengan jaraknya adalah $https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2+%28y_1-y_2%29%5E2%7D$ .

$https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csqrt%7B%28x_1-x_2%29%5E2+%28y_1-y_2%29%5E2%7D$ merupakan salah satu formula jarak. Meskipun begitu, kita tidak harus menggunakan formula seperti ini untuk mendefinisikan jarak pada himpunan. Contohnya untuk lebih abstrak, bagaimana cara kita mendefinisikan jarak pada sebarang himpunan? Misalnya himpunan seperti $A=\left \{ \text{baju}, \text{pulpen}, \text{nasi} \right \}$ , atau misalnya himpunan fungsi $B=\left \{ f|f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \right \}$ . Apakah hanya di koordinat kartesius saja kita bisa menggunakan konsep jarak? Mari kita lakukan abstraksi sehingga konsep jarak bisa diperluas.

Mari kita amati dua objek. Misal ada objek donat dan ayam.

Tanpa menanyakan "berapa?", bagaimana jarak antara donat dengan ayam tersebut? Yap, jaraknya positif. Secara intuisi, jarak tidak boleh negatif. Kemudian apakah jarak bisa 0? Yap, jarak bisa 0. Jarak 0 hanya terjadi antara 2 benda yang sama. Jadi, jarak dari si donat ke donat tersebut adalah 0. Jarak dari ayam ke si ayam sendiri juga 0. Namun, karena donat dan ayam itu berbeda, maka jarak antara keduanya lebih dari 0.

Perhatikan juga bahwa jarak dari donat ke ayam sama saja dengan jarak dari ayam ke donat. Jadi, jarak juga bersifat simetris.

Selain sifat di atas, apalagi sifat jarak? Mari kita tambahkan objek lain. Misal objek tersebut adalah hati.

Sekarang, mari kita amati donat, hati dan ayam. Secara intuisi kita bisa lihat bahwa jarak dari donat ke ayam lebih kecil dari jarak donat ke hati ditambah dengan jarak hati ke ayam. Contoh dalam kehidupan nyata, kalau kita jalan-jalan dari kota Jakarta langsung ke kota Bandung tentu lebih dekat atau lebih pendek jaraknya dibandingkan kita singgah lebih dahulu dari Jakarta ke Bogor lalu ke Bandung. Sehingga terbentuklah suatu ketaksamaan yang disebut ketaksamaan segitiga.

Jadi, apa saja sifat jarak antara dua objek? Mari kita notasikan fungsi jarak dengan huruf $d$ sehingga $d(a,b)$ artinya adalah jarak dari objek/titik $a$ ke objek/titik $b$ . Mari kita simbolkan sifat-sifat di atas dalam bentuk notasi matematika.

Sifat pertama:

$d(a,b)\geq 0$ (jarak tidak boleh negatif)

Sifat kedua:

$d(a,b)=0$ jika dan hanya jika $a=b$ (jarak dua benda berbeda haruslah tidak 0, jika jaraknya 0 maka bendanya harus sama, jarak benda dengan dirinnya sendiri adalah 0)

Sifat ketiga:

$d(a,b)=d(b,a)$ (jarak bersifat simetris, jarak dari objek a ke b sama saja dengan jarak dari objek b ke objek a)

Sifat keempat (ketaksamaan segitiga):

$d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)$ (ketaksamaan segitiga, perhatikan kesamaan bisa terjadi contohnya saat $a=b$ )

Oke, itulah sifat dari jarak sesuai dengan intuisi dalam kehidupan sehari-hari. Dengan menggunakan sifat-sifat tersebut, kita membuat abstraksi dari "jarak" yang kita beri nama "metrik". Suatu metrik merupakan fungsi jarak dari suatu himpunan.

Misal ada himpunan $X$ , kita definisikan fungsi $d$ dari $X\times X$ (yakni himpunan pasangan berurutan di $X$ , ditulis $X\times X = \left \{ (a,b)|a,b\in X \right \}$ ) ke himpunan bilangan riil $\mathbb{R}$ , sehingga $d(a,b)$ menyatakan jarak dari $a$ ke $b$ untuk setiap $a,b \in X$ . Nah, fungsi jarak $d:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$ ini baru dikatakan metrik kalau memenuhi keempat sifat di atas yakni nonnegatif, simetris, bernilai nol jika dan hanya jika untuk pemetaan pasangan objek yang sama, serta memenuhi ketaksamaan segitiga. Ini bisa ditulis dalam notasi matematika sebagai berikut.

1. $d(x,y)\geq 0, \forall x,y \in X$

2. $d(x,y)=d(y,x), \forall x,y \in X$

3. $d(x,y)=0 \leftrightarrow x = y, \forall x,y \in X$

4. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y), \forall x,y,z \in X$

Adapun pasangan suatu himpunan dengan metriknya $(X, d)$ disebut ruang metrik. Himpunan $X$ itu sendiri juga bisa disebut ruang metrik dengan metrik $d$ .

Jadi, kesimpulannya ruang metrik adalah himpunan yang dilengkapi oleh fungsi metrik. Fungsi metrik itu sendiri merupakan alat ukur yang menyatakan jarak dari objek-objek pada ruang metrik.

Contoh ruang metrik adalah contoh di awal tadi yakni ruang metrik $\mathbb{R}^2$ dengan metrik $d$ sehingga $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ untuk setiap $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}$ . Metrik ini memenuhi keempat sifat di atas, silakan dibuktikan sendiri. Metrik ini juga disebut metrik Euclidean yang standar kita gunakan untuk menentukan jarak di $\mathbb{R}^2$ .

Selain itu $d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\text{max}(|x_1-x_2|,|y_2-y_2|),\forall(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in \mathbb{R}^2$ juga mendefinisikan metrik di $\mathbb{R}^2$ yang disebut metrik Chebysev atau metrik maksimum.

Untuk seberang himpunan $H$ , kita juga bisa mendefinisikan metrik sebagai berikut.

$d(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1, & x\neq y\\ 0, & x = y \end{matrix}\right. \forall x,y \in H$ .

Ini juga merupakan metrik yang memenuhi keempat sifat di atas. Metrik ini disebut metrik diskrit.

Jadi, metrik itu ada banyak dan tidak harus mengikuti teorema Phytagoras. Kita dapat mendefinisikan "jarak" sesuka kita, dan selama memenuhi keempat sifat di atas maka definisi jarak tersebut adalah metrik.

Contoh lain, fungsi selish $d(x,y) = |x-y|$ juga adalah metrik pada ruang metrik bilangan riil $\mathbb{R}$ . Tentu ini juga mudah dibuktikan. Untuk saat ini pembuktiannya diserahkan ke pembaca. Namun, mungkin aye akan membahas buktinya di postingan lain.

Jadi, seperti itulah metrik dan ruang metrik. Metrik adalah abstraksi dari jarak. Sedangkan ruang metrik adalah himpuan yang dilengkapi dengan fungsi metrik sehingga jika kita mengambil dua objek pada himpunan tersebut maka kita bisa menghitung jaraknya dengan fungsi metrik yang sudah didefinisikan.. Ya, seperti itulah pengertian kasarnya. Cukup sekian postingan dari aye. Kalo ada koreksi, pertanyaan, protes, tambahan, serta unek-unek lainnya silakan sampaikan di kolong komengtar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~