Sifat Deret Harmonik yang Mencengangkan (Ada Fungsi Zeta Disini)

Saturday, December 26, 2020

Hai semua ^_^ Aye Admin K. Kali ini aye kembali lagi bakal ngepost tentang math. Kali ini level materi math yang bakal aye bahas disini lumayan advance. Di postingan ini kita akan membuktikan suatu persamaan yang melibatkan jumlahan parsial deret hiperharmonik (deret-p) serta fungsi Zeta (atau Riemann-Zeta). Nah, persamaan yang akan kita buktikan kali ini adalah eng ing eng...

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(q)}}{k^p}=\zeta(p)\zeta(q)+\zeta(p+q)$

Wah, persamaannya sangat memusingkan ya? Biar gak pusing, mari berkenalan dulu dengan notasi-notasi yang digunakan pada persamaan di atas. Cekidoot.

Kalian tau deret harmonik? Ini lho yang dinamakan deret harmonik.

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+...$

Deret ini merupakan deret yang divergen. Namun, meskipun divergen, kita bisa mengambil jumlahan parsial (partial sum) dari deret tersebut kemudian menyebutnya sebagai bilangan harmonik yang dinotasikan sebagai berikut.

$H_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$

Sebagai contoh

$H_1=\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{k}=\frac{1}{1},\\ H_3=\sum_{k=1}^{3}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}\\$

Oke, lanjut ya. Terus, apa itu $H_n^{(p)}$ ? $H_n^{(p)}$ lebih umum lagi, yakni jumlahan parsial untuk deret $p$ , yakni

$H_n^{(p)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^p}$

Oke, kita lanjut ya. Selanjutnya, kita berkenalan sama fungsi Zeta. Fungsi Zeta adalah fungsi yang terdefinisikan sebagai berikut untuk setiap $p>1$ .

$\zeta(p)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^p}$

Perhatikan bahwa jika $p\leq 1$ maka deret di ruas kanan akan divergen (kenapa?). Untuk $p>1$ sendiri, ruas kanan konvergen (bukti diserahkan ke pembaca :P). Oleh karena itu, fungsi Zeta hanya terdefinisi untuk $p>1$ (beda ceritanya kalau fungsi ini diperluas menjadi fungsi Riemann-Zeta). Oh yah, perhatikan pula bahwa $H_n^{(p)}$ adalah jumlahan parsial dari $\zeta(p)$ .

Yosh, masalah notasi sudah selesai. Waktunya membuktikan. Tentu saja persamaan tersebut akan dibuktikan untuk $p,q>1$ sebab fungsi Zeta hanya terdefinisi pada kondisi tersebut. Baiklah, mari kita mulai pembuktiannya.

Mari kita mulai dari seonggok deret ini. Tentu saja, ambil sebarang $p,q>1$ . Perhatikan seonggok deret berikut.

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}$

Gausah perhatiin lama-lama ya. Lanjut, kita evaluasi dan clang-clingkan dengan kekuatan aljabar.

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}H_k^{(p)}\\$

(Bongkar $H_k^{(p)}$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{n^p}=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{k^qn^p}$

(Lakukan pertukaran notasi sigma, perhatikan $1\leq n\leq k<\infty$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{n^pk^q}$

(ini bisa dilakukan karena deretnya konvergen mutlak)

(Lanjut, keluarkan $\frac{1}{n^p}$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^q}\right ]$

(Lanjut, kita bongkar $\left [ \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^q}\right ]$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=n}^{\infty}\frac{1}{k^q}\right ]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^q}\right ]$

(Sisipkan $0=\frac{1}{n^q}-\frac{1}{n^q}$ di tengah)

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}+\frac{1}{n^q}-\frac{1}{n^q}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^q}\right ]$

(Masukkan $-\frac{1}{n^q}$ ke dalam deret paling kanan sebagai suku ke- $n$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}+\frac{1}{n^q}-\frac{1}{n^q}-\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^q}\right ]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^q}+\frac{1}{n^q}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^q}\right ]$

(Selanjutnya, gunakan definisi fungsi Zeta serta jumlahan $H_n^{(p)}$ )

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \zeta(q)+\frac{1}{n^q}-H_n^{(q)}\right ]$

(Pecah-pecah menjadi tiga)

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\left [ \zeta(q)+\frac{1}{n^q}-H_n^{(q)}\right ]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\zeta(q)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\cdot \frac{1}{n^q}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}H_n^{(q)}$

(Lanjut tinggal gunakan sifat notasi sigma, aljabar, dan definisi, cling cling)

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}={\color{Red} \zeta(q)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}}+{\color{Purple} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p+q}}}-{\color{Blue} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^{(q)}}{n^p}}$

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}={\color{Red} \zeta(q)\zeta(p)}+{\color{Purple} \zeta(p+q)}-{\color{Blue} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^{(q)}}{n^p}}$

(Dari sini udah kelihatan kan? =D)

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}+{\color{Blue} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n^{(q)}}{n^p}}={\color{Red} \zeta(q)\zeta(p)}+{\color{Purple} \zeta(p+q)}$

(Sentuhan akhir, ganti huruf n dengan huruf k :D)

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(p)}}{k^q}+{\color{Blue} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_k^{(q)}}{k^p}}={\color{Red} \zeta(q)\zeta(p)}+{\color{Purple} \zeta(p+q)}.\blacksquare$

Selesai deh ^_^ Gimana, seru, indah, dan menakjubkan, bukan? Keren kan? Ya kan? Ya kan? Sifat dan pembuktian ini aye ambil dari buku (Almost) Impossible Integrals, Sums, and Series (by Cornel Ioan Vălean) bagian 6.21. Pembuktian yang tertulis disitu sangat singkat trus aye panjang-panjangin di sini biar makin jelas (moga aja begitu). Udah paham? Kalau ada kurang paham atau ada koreksi, silakan sampaikan semuanya di kolom komengtar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~