Monday, February 1, 2021

Home / Matematikamampus / Aplikasi Turunan Untuk Mencari Nilai Terkecil (Pembahasan Soal AHSME Tahun 1983 Problem 21)

Aplikasi Turunan Untuk Mencari Nilai Terkecil (Pembahasan Soal AHSME Tahun 1983 Problem 21)

by Admin K on Monday, February 01, 2021 in Matematikamampus

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan ini, aye bakal ngebahas lagi soal matematika. Soal yang aye bahas di post ini adalah salah satu soal AHSME tahun 1983. Soal ini adalah soal mencari bilangan terkecil yang bisa diselesaikan dengan berbagai cara yang salah satunya adalah menggunakan turunan. Langsung saja, kita lihat soalnya.

Problem 21

Find the smallest positive number from the numbers below.

(A) $10-3\sqrt{11}$ (B) $3\sqrt{11}-10$ (C) $18-5\sqrt{13}$ (D) $51-10\sqrt{26}$ (E) $10\sqrt{26}-51$

Terjemahan

Carilah bilangan positif terkecil dari bilangan-bilangan berikut.

(A) $10-3\sqrt{11}$ (B) $3\sqrt{11}-10$ (C) $18-5\sqrt{13}$ (D) $51-10\sqrt{26}$ (E) $10\sqrt{26}-51$

Solusi

Perhatikan soal baik-baik. Soal menyuruh untuk mencari bilangan positif. Dengan demikian, kita harus cek apakah ada bilangan negatif atau 0 di opsi (tidak ada 0 di opsi). Perhatikan opsi (A) adalah negatif dari opsi (B). Berarti, salah satu dari (A) atau (B) adalah bilangan negatif. Mari kita tinjau satu persatu.

Untuk opsi (A), ${\color{Red} 10}-{\color{Blue} 3\sqrt{11}}={\color{Red} \sqrt{100}}-{\color{Blue} \sqrt{99}}>0$ karena yang merah lebih besar daripada yang biru. Itu artinya opsi (A) adalah salah satu kandidat jawaban. Untuk opsi berikutnya:

(B) ${\color{Red} 3\sqrt{11}}-{\color{Blue} 10}={\color{Red} \sqrt{99}}-{\color{Blue} \sqrt{100}}<0$

(C) ${\color{Red} 18}-{\color{Blue} 5\sqrt{13}}={\color{Red} \sqrt{324}}-{\color{Blue} \sqrt{325}}<0$

(D) ${\color{Red} 51}-{\color{Blue} 10\sqrt{26}}={\color{Red} \sqrt{2601}}-{\color{Blue} \sqrt{2600}}>0$

(E) ${\color{Red} 10\sqrt{26}}-{\color{Blue} 51}={\color{Red} \sqrt{2600}}-{\color{Blue} \sqrt{2601}}<0$

Jelas bahwa, kandidat jawaban di antara (A) atau (D). Selanjutnya, tinggal dibandingkan, mana yang lebih kecil, apakah $10-3\sqrt{11}$ atau $51-10\sqrt{26}$ . Ada beberapa cara yang bisa digunakan. Salah satunya adalah dengen memanfaatkan turunan fungsi. Bagaimana caranya? Perhatikan kembali kedua kandidat jawaban yang bisa ditulis kembali sebagai berikut.

(A) $10-3\sqrt{10}=\sqrt{100}-\sqrt{99}$

(D) $51-10\sqrt{26}=\sqrt{2601}-\sqrt{2600}$

Tampak bahwa kedua jawaban mengikuti pola fungsi $f(x)=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}$ . Kita bisa meninjau naik turunnya fungsi tersebut dengan menggunakan turunan. Turunan dari fungsi tersebut adalah

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})$

$f'(x)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^{1/2}-(x-1)^{1/2})$ .

Dengan menggunakan power rule (aturan pangkat) dan chain rule (aturan rantai), diperoleh

$f'(x)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}-\frac{1}{2}(x-1)^{1/2-1}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x-1)$

$f'(x)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}-\frac{1}{2}(x-1)^{1/2-1}(1)$

$f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}-\frac{1}{2}(x-1)^{-1/2}$

$f'(x)=\frac{1}{2x^{1/2}}-\frac{1}{2(x-1)^{1/2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

Samakan penyebut dengan mengalikan $\sqrt{x-1}$ dan $\sqrt{x}$ masing-masing pada pembilang dan penyebut berturut-turut pada suku pertama dan kedua.

$f'(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{2\sqrt{x}\sqrt{x-1}}-\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x-1}}$

$f'(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x-1}}$

Nah, perhatikan bahwa untuk $x>1$ , selalu berlaku $\sqrt{x-1}<\sqrt{x}$ sehingga $\sqrt{x-1}-\sqrt{x}<0$ . Selain itu, berlaku pula $\sqrt{x}>0$ dan $\sqrt{x-1}>0$ (ingat nilai akar non-negatif). Dengan demikian, saat $x>1$ , pembilang dari $f'(x)$ bernilai negatif dan penyebutnya bernilai positif. Walhasil, $f'(x)$ bernilai negatif. Ini menunjukkan bahwa $f$ adalah fungsi monoton turun (tegas) saat $x>1$ .

Akhirnya, karena $2601>100$ , mengingat $f$ fungsi turun, maka $f(2601)<f(100)$ atau $\sqrt{2601}-\sqrt{2600}<\sqrt{100}-\sqrt{99}$ . Dengan kata lain, $10\sqrt{26}-51$ (yakni, jawaban (D)) lebih kecil dari $10-3\sqrt{11}$ (jawaban (A)). Jadi, dapat disimpulkan bahwa jawaban dari soal adalah (D) sebab $10\sqrt{26}-51$ adalah bilangan positif yang terkecil.

Eitss, gak harus pake turunan lho. Masih ada cara lain.

Solusi Alternatif

Perhatikan bahwa

$\sqrt{2601}-\sqrt{2600}=(\sqrt{2601}-\sqrt{2600})\left ( \frac{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}} \right )$

${\color{White} \sqrt{2601}-\sqrt{2600}}=\frac{(\sqrt{2601}-\sqrt{2600})(\sqrt{2601}+\sqrt{2600})}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}$

Kalikan, bagian pembilang (bisa menggunakan rumus beda kuadrat)

$\sqrt{2601}-\sqrt{2600}=\frac{(\sqrt{2601})^2-(\sqrt{2600})^2}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}$

${\color{White} \sqrt{2601}-\sqrt{2600}}=\frac{2601-2600}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}} =\frac{1}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}$ .

Dengan cara yang serupa, diperoleh juga

$\sqrt{100}-\sqrt{99}=\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$

Perhatikan bahwa penyebut $\frac{1}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}$ lebih besar dari penyebut $\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$ . Dengan demikian $\frac{1}{\sqrt{2601}+\sqrt{2600}}<\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}$ atau dengan kata lain, kesimpulannya sama seperti solusi menggunakan turunan sebelumnya yakni $\sqrt{2601}-\sqrt{2600}<\sqrt{100}-\sqrt{99}$ . Cara kedua selesai, terbukti lagi bahwa jawaban (D) benar. Satu masalah, punya banyak solusi. Kalian bisa memilih solusi mana yang kalian suka tergantung selera.

Jadi, gimana? Fun dan emejing, bukan? Solusi mana yang kalian suka? Semoga bermanfaat dan semoga kalian enjoy. Kalo ada komentar, tanggapan, koreksi, pertanyaan, atau mungkin ada cara lain, silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~