Akar 2 Itu Gak Rasional, Kok Bisa? Bisa Dong

by Admin K on Friday, March 19, 2021 in Matematikamampus

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Disini aye akan membuktikan bahwa akar kuadrat dari 2 merupakan bilangan yang gak rasional atau dengan kata lain irasional.

Pertama-tama aye ingetin dulu apa itu bilangan irasional. Bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa ditulis atau diekspresikan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat. Yap, bilangan irasional adalah kebalikan dari bilangan rasional yang dapat ditulis diekspresikan dalam bentuk $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat. Beberapa contoh bilangan rasional adalah $\frac{1}{2}$ , $-\frac{12}{5}$ , serta bilangan bulat seperti $5$ juga merupakan bilangan rasional sebab dapat ditulis $5=\frac{5}{1}$ .

Lalu, bagaimana dengan $\sqrt{2}$ ? Apakah $\sqrt{2}$ rasional ataukah irasional? $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. Kalau begitu, apa buktinya? Apa gerangan yang membuat $\sqrt{2}$ bukan merupakan pembagian 2 buah bilangan bulat? Apa hal yang menjadi alasan si yang dikuadratin jadi 2 ini gak rasional? Cekidoot buktinya.

Bukti

Untuk membuktian $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, caranya sangat mudah. Salah satu caranya adalah dengan menggunakan pembuktian dengan kontradiksi. Apa itu pembuktian dengan kontradiksi? Pembuktian dengan kontradiksi adalah pembuktian yang diawali dengan mengandaikan suatu asumsi awal lalu dari asumsi tersebut kita harus antarkan sehingga terjadi kontradiksi. Nah, kalau ada kontradiksi, itu artinya asumsi awal kita salah sehingga disimpulkan lawan dari asumsi tersebutlah yang benar.

Oke, mari kita mulai. Untuk membuktikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional, kita buat suatu pengandaian yang berlawanan dengannya. Andaikan $\sqrt{2}$ itu bilangan rasional. Mari kita lihat apakah akan terjadi kontradiksi.

Nah, karena $\sqrt{2}$ bilangan rasional, pastinya kita bisa menulis $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat. Tanpa menghilangkan keumuman, kita asumsikan $a$ dan $b$ adalah bilangan positif yang saling prima sehingga $\frac{a}{b}$ adalah bentuk pecahan yang paling sederhana berarti gak bisa disederhanakan lagi. Dengan kata lain, $a$ dan $b$ saling prima atau mempunyai faktor persekutuan terbesar (FPB) 1.

Diperoleh

$\frac{a}{b}=\sqrt{2}$
$\left ( \frac{a}{b} \right )^2=2$
$\frac{a^2}{b^2}=2$
$a^2=2b^2$

Dari sini terlihat bahwa $a^2$ adalah kelipatan 2 atau genap, berarti $a$ juga adalah bilangan genap (kenapa?). Karena $a$ adalah kelipatan 2, kita bisa tulis $a=2k$ dengan $k$ adalah bilangan bulat. Kita substitusikan ke persamaan terakhir diperoleh

$(2k)^2=2b^2$

$4k^2=2b^2$

Bagi 2 kedua ruas diperoleh

$2k^2=b^2$

Dengan demikian, terlihat jelas bahwa $b^2$ habis dibagi 2. Karena $b^2$ habis dibagi 2, maka $b$ juga harus habis dibagi 2. Ingat pula bahwa tadi sudah ditunjukkan $a$ habis dibagi 2. Sehingga, diperoleh $a$ dan $b$ sama-sama habis dibagi 2. Hal ini jelas kontradiksi dengan asumsi bahwa $a$ dan $b$ mempunyai faktor persekutuan terbesar 1. Karena terjadi kontradiksi, maka pengandaian bahwa $\sqrt{2}$ adalah rasional salah. Jadi, haruslah yang benar $\sqrt{2}$ adalah bilangan irasional. $\blacksquare$

Bagaimana mudah bukan pembuktiannya? Kalian juga bisa menggunakan cara ini untuk membuktikan $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , dll yang merupakan akar dari bilangan bukan kuadrat sempurna juga adalah bilangan irasional lho. Caranya mirip-mirip dengan pembuktian $\sqrt{2}$ irasional.

Oke, cukup sekian postingan aye kali ini. Semoga kalian senang dan paham tulisan ini. Kalau ada pertanyaan atau tambahan, silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~