Bisakah Kalian Menjawab Soal Ini? Apakah Ketiga Garis Ini Konkuren? (Pembahasan Soal IMO Tahun 1982 Problem A2)

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Tentu saja masih di situs web kesayangan kita, KnK Land. Kali ini, aye bakal ngebahas lagi soal IMO tapi soal IMO yang lain. Nah, kali ini tentang geometri. Sebenarnya, aye gak terlalu jago soal geometri tapi gapapa, sekalian buat belajar juga. Baiklah, langsung aja kita liat soalnya ya guys.

Problem A2

 

A non-isosceles triangle A₁A₂A₃ has sides a₁, a₂, a₃ with a_i opposite A_i. M_i is the midpoint of side a_i and T_i is the point where the incircle touches side a_i. Denote by S_i the reflection of T_i in the interior bisector of ∠A_i. Prove that the lines M₁S₁, M₂S₂ and M₃S₃ are concurrent. 

Terjemahan:

Suatu segitiga tak sama kaki A₁A₂A₃ mempunyai sisi a₁, a₂, a₃ dengan sisi a_i berhadapan dengan A_i. M_i adalah titik tengah dari sisi a_i dan T_i adalah titik dimana lingkaran dalam segitiga tersebut menyinggung a_i. Misalkan S_i adalah refleksi dari T_i dalam bisektor interior sudut ∠A_i. Buktikan bahwa garis M₁S₁, M₂S₂ dan M₃S₃ konkuren.

 

Masalah pertama dari soal ini adalah masalah untuk memahami soal tersebut. Terdapat banyak istilah geometri yang harus dipahami terlebih dahulu sebelum kita bisa menyelesaikan soal ini. Bagi kalian yang sudah paham semua istilah keseluruhan dalam soal, kalian bisa skip ke bagian solusi. Aye mengambil salah satu solusi di kanal Youtube-nya Osman Nal, jangan lupa disukreb. Aye gak menyediakan solusi dalam bentuk tulisan, videonya udah aye sematkan.

Beberapa istilah pada soal yang bakal aye bahas adalah segitiga tak sama kaki, sisi berhadapan dengan titik, titik tengah sisi, lingkaran dalam segitiga, menyinggung, refleksi, bisektor interior, dan konkuren.

Segitiga tak sama kaki

Apa itu segitiga tak sama kaki? Jelas dari namanya tentu saja segitiga yang bukan segitiga sama kaki. Nah, apa lagi tuh segitiga sama kaki? Kapan suatu segitiga disebut segitiga sama kaki? Jawabannya adalah apabila ada dua sisinya sama panjang. Berikut contoh segitiga sama kaki.

Nah, segitiga sama sisi juga merupakan segitiga sama kaki karena ada dua sisinya yang sama panjang (ya soalnya kan semua sisi sama panjang). Lalu apa itu segitiga tak sama kaki? Tentu saja saja sebaliknya yakni segitiga yang tidak ada dua sisinya yang sama panjang. Dengan kata lain, segitiga tak sama kaki adalah segitiga yang semua sisinya mempunyai panjang berbeda. Segitiga tak sama kaki juga biasa disebut segitiga sembarang.

Sisi Berhadapan dengan Titik

Perhatikan gambar segitiga sembarang berikut. Sisi a berhadapan dengan titik sudut A, sisi b berhadapan dengan titik sudut B, dan sisi c berhadapan dengan titik C.

Titik Tengah Sisi Segitiga

Titik tengah suatu sisi pada segitiga adalah titik yang tepat berada di tengah sisi tersebut (you don't say).

Contohnya pada gambar di atas, titik T tepat berada di tengah-tengah antara titik sudut A dan titik sudut B. Jadi, T ada di tengah sisi AB atau sisi c sehingga titik T juga disebut sebagai titik tengah sisi c atau titik tengan sisi AB. Disebut titik tengah ya karena berada di tengah-tengah -_-. Untuk bisa disebut titik tengah, ya jarak T dengan A harus sama dengan jarak T dengan B. Eits, jangan lupa juga titik T harus ada di sisi tersebut bukan dimana-mana entah di luar segitiga, di dalam segitiga ataupun di sisi yang lain.

Menyinggung/Bersinggungan

Apa itu menyinggung atau bersinggungan? Mendengar kata menyinggung, mungkin kalian berpikir sesuatu yang menyentuh sesuatu? Yap, dua kurva saling bersinggungan artinya saling menyentuh. Sebenarnya "menyinggung" ini gak ada definisi pastinya, yang ada justru definisi "berpotongan". Dua buah kurva dikatakan berpotongan kalau mempunyai suatu titik yang sama (melalui titik yang sama).

Perhatikan gambar di atas. Terdapat dua buah kurva, yakni kurva biru dan kurva ungu. Kedua kurva tersebu saling bersinggungan di titik merah. 

Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi dari segitiga.

Perhatikan segitiga di atas. Segitiga tersebut mempunyai lingkaran dalam yang menyinggung ketiga sisi segitiga.

Bisektor Interior

Bisektor interior atau garis bagi adalah garis yang menghubungkan titik sudut dalam segitiga dengan sisi di hadapannya sedemikian sehingga membagi sudut tersebut menjadi dua.

 

 

Perhatikan gambar animasi di atas. Gambar di atas menunjukkan bahwa suatu segitiga mempunyai 3 buah garis bagi (bisektor interior) yang membagi sudut-sudutnya menjadi 2 sudut yang sama besar.

Nah, itulah definisi dari garis bagi. Semoga bermanfaat. Mungkin pembahasan lebih lanjut dari sifat garis bagi lain bakal diposting lain kali. Sampai jumpa di postingans selanjutnya. Bye~

 

 

== Adapun untuk istilah atau definisi yang lain akan ditambah lain kali, berikut solusinya. ==

Solusi