Friday, November 19, 2021

Home / Matematikamampus / Video / Integral dari log(x - log(x - ...)), logaritma dalam logartima, apakah hasilnya akan mencengangkan?

Integral dari log(x - log(x - ...)), logaritma dalam logartima, apakah hasilnya akan mencengangkan?

by Admin K on Friday, November 19, 2021 in Matematikamampus, Video

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Kali ini aye bakal ngebahas soal integral unik yang integrannya merupakan fungsi logaritma bersarang (logaritma dalam logaritma). Bersarangnya pun gak cuma 2, 3, atau berhingga kali tapi tak berhingga kali. Langsung aja kita selesaikan bersama-sama.

Kalo gambar krayon di atas kurang jelas, simak soalnya di bawah ini.

Pertami-tami, kita harus memperhatikan integran yang ada di dalam.

$\log (x - \log (x - ...))$

Terlebih dahulu, aye klarifikasi dulu kalo fungsi log ini basisnya adalah e bukan 10. Jadi, bagi kalian yang protes, kalian anggap aja log = ln. Lanjut.

Gimana kalo kita misalin integrannya itu adalah fungsi $f$ yang bergantung pada $x$ ? Jadi, ....

$f=f(x)=\log(x-{\color{Blue} \log(x-...)})$

Kalian perhatikan yang aye warnain biru? Yap itu juga adalah $f$ . Ya betul, $f$ ada di dalam $f$ . Jadi, bisa ditulis kayak gini...

$f=\log(x-{\color{Blue} f})$

Bdw, sebenarnya si $f$ ini adalah limit dari barisan rekursif dengan formula berikut

$f_{n+1}=\log(x- f_n)$

asalkan dengan nilai $x$ yang membuatnya konvergen.

Oke, kita lanjut ya dari sini

$f=\log(x-{\color{Blue} f})$

Kita jabarin buat sendiriin $x$ . Kita eksponenkan dulu ya.

$e^f=e^{\log (x-f)}$

Karena eksponen dan logaritma saling invers, maka

$e^f = x - f$

$e^f + f = x$ .

Okey, selanjutnya kita turunkan diperoleh

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f}\left [e^f + f \right ] \mathrm{d} f= \mathrm{d} x$ .

Ruas kiri jangan dulu diturunkan terhadap $f$ , liat aja bentar, apa yang bakalan terjadi kalo kita substitusiin ke integralnya.

Balik lagi ke integralnya sob.

$\int \log (x-\log (x-...)) \: \mathrm{d} x$

Kita tau kalo integrannya bisa kita ganti $f$ trus $\mathrm{d} x$ bisa kita ganti dengan yang udah kita peroleh di atas.

$\int f\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f$

Nah, yang tadinya kita integralin terhadap $x$ , sekarang kita integralin terhadap $f$ , slur.

Inilah kenapa kita gak langsung turunin tadi terhadap $f$ soalnya kita bisa integralin secara parsial (integral by parts). Kita gunakan bantuan tabel DI untuk membantu mencari integralnya. Jelas, kita tahu term mana yang mau kita integralkan dan mana yang mau kita turunkan.

$\begin{matrix} D & I\\ f & \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f}\left [ e^f + f \right ]\\ 1 & \left [ e^f + f \right ] \end{matrix}$

Dengan demikian, kita tahu bahwa hasil integralnya adalah

$\int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [ e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f = f\left [ e^f + f \right ] - \int \left ( e^f + f \right ) \: \mathrm{d} f$

${\color{White} \int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [ e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f} = f\left [ e^f + f \right ] - \left ( e^f + \frac{f^2}{2} \right ) + C$

Yap, we are done. Selesai. Kalau mau dikembaliin ke bentuk variabel $x$ juga gak masalah. Ingat tadi, kita peroleh $e^f + f = x$ . Dengan demikian, kita bisa sedikit "nyederhanain" hasil integralnya menjadi sebagai berikut.

$\int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [ e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f = xf - \left ( e^f + \frac{f^2}{2} \right ) + C$

${\color{White} \int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [ e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f} = xf - e^f - \frac{f^2}{2} + C$

${\color{White} \int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [ e^f + f \right ] \: \mathrm{d} f} = xf - (x-f) - \frac{f^2}{2} + C$

${\color{White} \int f \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} f} \left [e^f + f \right ]\: \mathrm{d} f}= x(f-1)-\frac{f^2}{2}+f +C$

Nah, seperti itulah hasil integralnya. Buat kalian yang mau lebih paham lagi dan bisa bahasa Inggris, kalian bisa tonton penyelesaian integral ini di video dari kanal Youtube Flammable Maths berikut.

Oke, cukup sekian postingan dari aye. Semoga bermanfaat bagi kita semua. Kalau ada pertanyaan, protes, tanggapan, unek-unek, dan lain-lain, silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~