Konvolusi Sinyal

Halo, selamat pagi/malam/sore/siang para pembaca knkland yang sangat budiman dan jenius. Kali ini, saya sebagai penulis artikel ini, akan membahas tentang konvolusi sinyal. Dimulai dari intuisinya sampai pada kegunaan konvolusi sinyal pada sebuah sistem LTI ( Linear Time Invariant ). Jadi, tanpa berbasa dan basi, langsung saja menyelam ke air keruh ini.

1.1 Definisi

Menurut wikipedia berbahasa inggris:

" convolution is a mathematical operation on two functions ( $f$ and $g$ ) that produces a third function ( $f*g$ ) that expresses how the shape of one is modified by the other. The term convolution refers to both the result function and to the process of computing it. It is defined as the integral of the product of the two functions after one is reversed and shifted. The integral is evaluated for all values of shift, producing the convolution function "

dari definisi diatas singkatnya, konvolusi merupakan integral dari perkalian antara dua fungsi dimana salah satu fungsi tersebut ( yang dinamai: kernel ) digeser ( shifted ) dan dibalik ( reversed ). Untuk lebih jelas, secara matematis, definisi diatas dapat dituliskan sebagai berikut:

(f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .

1.2 Intuisi

Sebenarnya definisi tersebut menggambarkan apa? dan untuk apa? dan gimana cara mudah untuk menghafalkan definisi tersebut?. pertanyaan-pertanyan inilah yang akan menjadi pokok utama untuk bagian ini dan seterusnya. Untuk seksi ini, akan dijawab pernyataan " definisi tersebut menggambarkan apa ? dan cara mudah menghafalkan definisi tersebut? ". karena gambaran seringkali lebih mudah dihafal, dan karena yang dibicarakan adalah gambaran maka kita akan mengunakan teknik analogi.

Bayangkan, di sebuah perkotaan hiduplah seorang dukun nan sakti bernama Mbah Erlangga. Mbah Erlangga memiliki kesaktian mengubah 1.000 rupiah menjadi dua buah mobil, tetapi Mbah Erlangga membutuhkan waktu untuk mengubah uang tersebut menjadi mobil, lama Mbah Erlangga untuk memproduksi mobil dengan uang 1.000 rupiah adalah 1 hari, jadi, mobil kedua akan siap diproduksi 1 hari setelahnya. Sehingga, jika saya memberikan Mbah Erlangga 1.000 rupiah pada hari senin, maka saya akan mendapatkan 1 mobil di hari selasa dan 1 mobil di hari rabu. Dan jika saya memberikan pak Erlangga 2.000 rupiah di hari minggu, maka saya akan mendapatkan 2 mobil di hari senin, dan 2 mobil di hari selasa.

Gambar 1.1 Ilustrasi transaksi perdukunan

Tapi bagaimana jika saya memberi pak Erlangga 1.000 rupiah di hari senin, dan 1.000 di hari selasa. Jawabannya adalah di hari selasa saya akan mendapatkan 1 mobil, di hari rabu saya akan mendapatkan 2 mobil ( 1 mobil hasil dari 1.000 rupiah di hari senin dan 1 mobil hasil dari 1.000 rupiah di hari selasa ), dan terakhir 1 mobil di hari rabu.

Gambar 1.2 Masih ilustrasi transaksi perdukunan

Dan, bagimana bila saya memberikan 20 ribu di hari senin, 100 ribu di hari selasa, 300 ribu di hari rabu, dan 50 ribu di hari kamis? berapakah mobil yang saya dapat di hari rabu,selasa, kamis, jum'at, dan sabtu?. Nah, konvolusi datang untuk menjawab pertanyaan ini. misal kita ambil pertanyaan, berapakah mobil yang akan saya dapatkan di hari kamis? tentu jawabannya: 100 mobil ( uang hari selasa ) + 300 mobil (uang hari rabu) = 400 mobil. bagaimana dengan hari lainnya? ini dapat kalian jawab dengan cara serupa.

1.2.1 Aljabar Linear

Ternyata praktik perdukunan mbah Erlangga dapat kita jadikan sebuah fungsi, Sebut saja fungsi respon total M(t) merupakan fungsi banyaknya mobil yang Mbah Erlangga produksi pada hari t =, dan dungsi input U(x) merupakan fungsi uang yang saya berikan pada Mbah Erlangga pada hari x. Berhubung terdapat pertalian erat antara matrik dan fungsi, dengan demikin fungsi dapat diubah menjadi matriks menjadi bentuk berikut:

$\begin{bmatrix} M(1)\\ M(2)\\ M(3)\\ .\\ .\\ M(n)\\ \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} U(1)\\ U(2)\\ U(3)\\ .\\ .\\ U(n)\\ \end{bmatrix}$

untuk bisa menghubungkan M(t) dan U(x), disini dibutuhkan matrik transformasi ( sebut saja ) x, yang dapat mengubah U(x) menjadi M(t). Matrik x ini dapat dicari dengan mengamati respon Mbah Erlangga terhadap besar uang yang diterima.

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0& 0& 0\\ 1 & 0& 0& 0\\ 1 & 1& 0& 0\\ 0 & 1& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ 0 & 0& 0& 0\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}$

Warning: seharusnya matriks x berdimensi 7x7 mengikuti banyak baris M(t) dan (Ux)

dari pola ini, dapat digeneralisir sehingga matriks x menjadi:

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0& 0& 0& 0\\ 0 & 1 & 1 & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0& 0& 0& 1 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0& 0 & 0& 1& 1 & 0 \end{bmatrix}$

dimana setiap kolomnya merupakan respon dari fungsi U(x) ke x. Dan jika digeneralisir lebih lanjut untuk semua fungsi input, matriks transformasi x menjadi matriks Toeplitz:

A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}

sehingga konvolusi menggunakan perkalian matriks dapat ditulis:

$F*A = \begin{bmatrix} c_{0}\\ c_{1}\\ c_{2}\\ \vdots \\ \vdots \\ c_{k-1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{k-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} f_{0}\\ f_{1}\\ f_{2}\\ \vdots\\ \vdots \\ f_{n} \end{bmatrix}$

karena fungsi C(k) merupakan dot product, maka C(k) untuk k tertentu menjadi :

$c_{k} = \sum_{n} a_{n}k_{k-n}$

sehingga, untuk kasus kontinyu:

$(F*A)(k) := C(k) := \int F(n)A(k-n) \ dn.$

Bukankah ini fungsi yang persis dengan seusai definisi wikipedia (kecuali untuk penggunaan variabel). Dari sini, dapat disimpulkan bahwa konvolusi berguna untuk membentuk fungsi yang dapat meghitung akumulasi keluaran dari fungsi input F(k) sebelumnya pada k tertentu. Menggunakan analogi kasus Mbah Erlangga, konvolusi berfungsi untuk membuat sebuah fungsi yang dapat menentukan jumlah berapa mobil yang akan saya dapatkan pada hari tertentu, karena banyaknya mobil yang akan saya dapatkan itu merupakan hasil saya memberikan uang kepada Mbah Erlangga pada hari-hari sebelumnya, maka pastilah fungsi tersebut merupakan akumulasi respon (pembuatan mobil) Mbah Erlangga terhadap uang yang saya berikan padanya di hari-hari sebelumnya.

1.3 Konvolusi dan Sitem LTI

Seksi ini, akan membahas kaitan antara konvolusi dan sistem Linear Time Invariant ( linier dan invarian [ tidak berubah ] terhadap waktu ). kenapa sistem ini harus linear dan time invariant? karena ini merupakan syarat untuk dapat membentuk matriks Toeplitz, jika matriks tersebut tidak dapat dibentuk maka definisi konvolusi yang digunakan akan tidak berguna.

pertama, yang harus dipahami adalah sistem berfungsi untuk mengubah sinyal input menjadi sinyal output. Jadi, sinyal output dipengaruhi oleh sinyal input. bagaimana caranya agar dapat mengetahui sinyal output untuk setiap sinyal input yang akan dimasukkan dalam sistem LTI? disini konvolusi datang. Karena sesuai pembahasan diatas, bahwa konvolusi berguna untuk mencari fungsi yang dapat mengakumulasi tanggapan sistem terhadap input sebelumnya. Hal pertama dicari adalah tanggapan impuls sistem, yaitu respon sistem terhadap sinyal unit impuls.

karena sinyal lainnya, hanyalah merupakan kumpulan banyaknya sinyal impuls yang di-scaling, maka menggunakan fakta ini, sinyal output dapat dicari dengan mencari fungsi yang mengakumulasi kumpulan tanggapa sistem berdasarkan sinyal input yang akan dimasukkan ke dalam sistem. Fungsi tersebut hanya dapat didapatkan menggunakan konvolusi, sehingga dalam sistem LTI, Sinyal output didefinisikan sebagai berikut:

$y(t) := h(t)*x(t) := \int x(\tau)h(t-\tau) \ d\tau$