Hai hai semua ^_^ Aye Admin K, kembali lagi di situs web kesayangan kita, KnK Land. Kali ini, aye balik lagi ngebahas statistika dan peluang. Di postingan ini aye bakal ngebahas tentang fungsi kepadatan peluang variabel acak kontinu. Fungsi ini menunjukkan bagaimana kemungkinan nilai dari suatu variabel acak yang kontinu. Langsung aja kita cekidoot.
Mungkin kalian sudah mengenal variabel acak diskrit dan fungsi massa peluang dari variabel acak diskrit. Misal X adalah variabel acak diskrit yang menunjukkan nilai angka yang muncul dari dadu bermata 6 dalam satu kali lemparan. Anggaplah dadu itu punya peluang yang sama setiap sisinya, jadi peluang munculnya 1 itu 1/6, peluang munculnya 2 itu 1/6, dan seterusnya hingga peluang munculnya 6 adalah 1/6, maka fungsi massa peluang dari variabel acak X adalah sehingga
Dengan fungsi massa peluang tersebut, maka akan sangat mudah mencari peluang nilai X bernilai sesuatu atau dalam interval tertentu. Misalnya saja peluang X bernilai 2 adalah
atau peluang X bernilai 4 atau 5 adalah
Yap, sangatlah mudah menghitung peluang dari variabel acak yang diskrit hanya dengan menggunakan fungsi massa peluangnya.
Fungsi massa peluang pada variabel acak diskrit menunjukkan bagaimana nilai peluang terdistribusi pada setiap bilangan riil. Di contoh di atas, nilai 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 masing-masing punya peluang 1/6, sedangkan bilangan riil yang lain seperti 7, 0, -3, 𝜋, ½, dan lainnya punya peluang 0. Tentu tidak hanya ini saja fungsi massa peluang yang bisa dimiliki oleh suatu variabel acak. Dari fungsi massa peluangnya, kita bisa langsung mengetahui nilai peluang suatu variabel acak diskrit bernilai tertentu.
Nah, mungkin kalian berpikir, gimana kalau variabel acaknya kontinu? Misalnya variabelnya menunjukkan panjang ikan yang ditangkap oleh seorang pemancing (dalam cm). Bagaimana fungsi massa peluangnya?
Sayangnya, karena variabel acaknya kontinu, maka peluang si pemancing ikan mendapatkan ikan dengan panjang tertentu adalah 0. Dengan demikian, karena ini berlaku untuk setiap panjang ikan, maka fungsi massa peluangnya akan bernilai 0 untuk setiap bilangan riil x. Itu artinya, tidak ada gunanya kita membicarakan fungsi massa peluang untuk variabel acak yang kontinu sebab nilai fungsinya 0 dimana-mana.
Okay, kita lanjut ke masalah yang lebih simpel aja. Misal kita ingin mengambil bilangan secara acak di interval [0,1]. Asumsikan peluangnya seragam atau pengambilannya tidak berat sebelah. Tentu saja, mungkin bilangan yang terambil adalah ½ atau bisa juga terambil 1/e. Semua bilangan punya kesempatan yang sama untuk terambil pada interval [0,1]. Nah, berapa peluang terambilnya ½? Perhatikan bahwa ukuran ruang sampelnya adalah tak berhingga, berarti peluang terambil ½ adalah 0. Bahkan, semua bilangan yang ada di interval [0,1] punya peluang 0 untuk terambil. Kalau kita masih menggunakan fungsi massa peluang untuk mendeksripsikan distribusi peluang dari nilai variabel acak kontinu maka tentu saja sangatlah bermasalah, kan?
Dari contoh ikan di atas, kita tahu bahwa kenyataannya terdapat pola distribusi seberapa panjang ikan yang ada di laut, kita bisa mendata rata-rata panjang ikan yang diperoleh oleh nelayan. Bahkan banyak dari kita yang berani bilang tidak mungkin kita bisa menemukan ikan dengan panjang lebih dari diameter bumi, serta banyak juga dari kita yang berani bilang tidak mungin kita bisa menemukan ikan dengan panjang yang lebih kecil dari atom. Meskipun peluangnya 0 sekalipun, kita masih bisa percaya kalau ada kabar orang menangkap ikan yang panjangnya 32 cm dibandingkan dengan kabar yang hampir mustahil tersebut. Kita bisa merasa masuk akal kalau ada orang yang menangkap ikan yang panjangnya sekian hingga sekian cm. Ini menunjukkan bahwa variabel acak kontinu ada pola distribusinya dan fungsi massa peluang bukanlah fungsi yang tepat untuk mendeskripsikannya.
Kita perhatikan lagi pengambilan bilangan acak di interval [0,1]. Nah, secara intuitif, kita bisa merasakan bahwa peluang terambilnya bilangan antara 0 sampai ½ adalah sebesar ½. Bayangkan saja kita menusuk jarum secara acak di interval [0,1], maka secara intuitif kita bisa merasakan bahwa ada peluang sebesar ½ kalau jarumnya tertusuk di interval [0,½) dan ada juga peluang ½ jarumnya tertusuk di interval (½,1]. Ternyata, peluang nilai variabel acak di dalam interval tidaklah 0. Dari sini muncullah ide, gimana kalau kita buat fungsi yang luas di bawah kurvanya pada suatu interval menunjukkan peluang nilai variabel acak ada di interval tersebut? Muncullah yang namanya fungsi kepadatan peluang yang dapat digunakan untuk mendeksripsikan distribusi dari suatu variabel acak yang kontinu.
Jadi, kalau misal X adalah variabel acak kontinu lalu katakanlah adalah fungsi kepadatan peluangnya, serta misal a < b maka peluang X ada di antara a dan b adalah
yang juga sama dengan
sebab kita bisa abaikan titik ujung interval saat mencari peluang variabel acak kontinu.
Tentu saja, agar tetap mengikuti kaidah perpeluangan, si fungsi kepadatan peluang ini harus mengikuti aturan berikut.
untuk setiap
, sebab nilai peluang tidak pernah negatif, serta
, yakni total daerah di bawah kurvanya 1 yang menunjukkan jumlah peluang semua kejadian adalah 1.
Sebagai contoh, fungsi kepadatan peluang dari pengambilan bilangan di interval [0,1] yang ada di atas adalah
.
Jadi, misal Y adalah variabel acak yang menunjukkan bilangan yang terambil. Kita peroleh peluang Y terambil ada di antara 1/4 dan 9/10 adalah
.
Nah, itulah sedikit pembahasan mengenai fungsi kepadatan peluang. Sebenarnya masih banyak yang masih harus dibahas serta berbagai contohnya tapi mungkin bakalan aye posting lain kali. Kalau kalian ada tambahan, sanggahan, pertanyaan, atau protes, silakan sampaikan semuanya di kolom komenter. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~
No comments:
Post a Comment