Hai hai semua ^_^ Aye Admin K kembali lagi setelah sekian lama ga nulis di blog ini. Kali ini aye kembali lagi ngebahas soal matematika. Soal yang bakal aye bahas kali ini ini adalah soal berikut ini.
Tunjukkan bahwa jika \( \left | z \right | = 1 \) atau \( \left | w \right | = 1 \), dan \( \overline{z} w\), maka berlaku
\( \left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | = 1 \).
Okey, langsung aja mulai pembuktiannya.
Soal ini bisa diselesaikan dengan mudah apabila kita mengetahui sifat-sifat modulus bilangan kompleks.
Misalkan \( \left | z \right | = 1 \) atau \( \left | w \right | = 1 \), dan \( \overline{z} w\). Jadi, terdapat dua kasus, \( \left | z \right | = 1 \) atau \( \left | w \right | = 1 \).
Apabila \( \left | z \right | = 1 \), maka diperoleh
\( \left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | =\left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | \left | \frac{1}{z} \right | = \left | \frac{z-w}{z - z \overline{z} w} \right |=\left | \frac{z-w}{z - \left | z \right |^2 w} \right |=\left | \frac{z-w}{z - 1 w} \right |=1 \).
Selanjutnya, apabila \( \left | w \right | = 1 \) maka \( \left | \overline{w} \right | = 1 \) sehingga
\(\left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | =\left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | \left |\overline{w} \right | = \left | \frac{z\overline{w}-\overline{w}w}{1 - \overline{z} w} \right |=\left | \frac{z\overline{w}-\left | w \right |^2}{1 - \overline{z} w} \right |\\=\left | \frac{z\overline{w}-1}{1 - \overline{z} w} \right |=\left | \frac{1-z\overline{w}}{1 - \overline{z} w} \right |=\left | \frac{\overline{1-z\overline{w}}}{1 - \overline{z} w} \right |=\left | \frac{\overline{1}-\overline{z\overline{w}}}{1 - \overline{z} w} \right |\\=\left | \frac{1-\overline{z}w}{1 - \overline{z} w} \right |=1\).
Jadi, dari dua kasus terbukti bahwa \( \left | \frac{z-w}{1 - \overline{z} w} \right | = 1 \).
Okeh, cukup sekian postingan aye kali ini. Semoga kalian bisa paham, yach. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~
No comments:
Post a Comment